Résumé Cet article présente l'utilisation qu’il est possible de faire des outils de la viabilité dans le cadre des modèles macroéconomiques de développement durable.





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Durabilité – Viabilité et « Equité » (Annexe A-2.3 et A-3)
Pour la plupart des économistes, le développement durable est avant tout une question de croissance et de répartition, d’efficience économique et d’équité intergénérationnelle. Considérer le développement durable comme l'obligation de respecter des contraintes de ressources et d’en épargner une partie pour assurer la transmission d'une quantité minimale de biens aux générations futures, n’est ici pas suffisant. Le noyau de viabilité contient un très grand nombre d’évolutions et beaucoup ne sont pas admissibles sur un plan éthique. Si les premières générations se trouvent par exemple en situation de pléthore (le niveau de la ressource est infiniment grand par rapport à leurs besoins), rien a priori ne peut leur indiquer la nécessité d'épargner pour les générations futures, ce n'est qu'à l'approche de la limite d’exploitation que s'opère cette prise de conscience. Décidés trop tard, les nécessaires changements de comportement imposeront à l'ensemble des générations futures des sacrifices qui, s’ils avaient été mieux répartis sur l'ensemble des générations, auraient pu être moindres. Cette situation injuste sera cependant viable si les générations sacrifiées réalisent les efforts nécessaires pour respecter les contraintes de viabilité. Il importe donc de rechercher, parmi les évolutions viables, celles qui offriront une plus juste répartition des ressources entre générations. Il y a différentes manières d’aborder ce problème normatif avec les outils de la viabilité et nous en présenterons deux : la garantie des droits et la réduction des inégalités. La première, envisagée par Martinet et Doyen, consiste à agir sur les contraintes et à rechercher le niveau maximum de « droit minimum » en termes de consommation garantie par habitant et de ressource préservée qui pourront être transmis à l’ensemble des générations : contraindre, à toutes les périodes, les générations présentes à respecter les « droits » des générations futures. La seconde consiste à utiliser une fonction qui permettra de sélectionner parmi toutes les évolutions viables, celle pour laquelle l’inégalité entre les générations sera la plus faible. Pour cet exercice, nous nous intéressons aux variations de la consommation moyenne entre générations successives.
A- Garantir des droits aux générations futures (Annexe A-2.3):
Le noyau de viabilité de la figure 1 est l’ensemble de toutes les conditions initiales à partir desquelles il est possible de transmettre un niveau déterminé de consommation minimale cb et de ressource préservée sb à l’ensemble des générations futures. La taille de ce noyau dépend des seuils cb et sb: plus les contraintes envers les générations futures seront importantes, plus l’ensemble des conditions initiales (dotations en capital et en ressource) permettant d’offrir ces garanties sera réduit. Pour un noyau et des seuils donnés, toutes les évolutions issues d’un point du noyau satisfont, pour toutes les générations, les contraintes et , mais il est également possible que certaines d’entre elles puissent offrir aux générations futures des garanties supérieures.

Le problème est donc maintenant de rechercher la plus grande de ces garanties, en termes de consommation minimale et de ressource préservée, à partir d’un état initial donné. Ce problème est difficile car ces deux objectifs sont dans une certaine mesure concurrents. Il s’agit de déterminer les paires telles que, à partir d’un état initial donné :


  • Il existe une évolution viable qui respecte les seuils et .

  • Il n’existe pas d’évolution viable qui respecte des seuils strictement supérieurs à ou



Figure 3: Courbe des paires Pareto-optimales

Cette paire est un optimum de Pareto et il en existe plusieurs tous situés sur la frontière schématisée de la figure 3. Il est nécessaire de faire un arbitrage pour sélectionner une de ces paires. Nous présentons ici une façon de rechercher l'un ou l'autre de ces objectifs, par exemple le niveau de consommation maximum qu’il est possible de garantir indéfiniment tout en préservant une quantité donnée de ressource.
Avec un seuil sb de ressource fixé, il s'agit de calculer la fonction qui à toute situation initiale (k0,s0) donnée associe la valeur maximale du seuil inférieur cb qu’il est possible de réaliser à partir d’une évolution issue de (k0,s0).



La figure 4 représente le graphe de cette fonction. Sur cette figure sont représentées deux conditions initiales A et B avec au départ une même quantité de ressource s0 et différentes dotations en capital kA < kB. Cette figure montre qu'avec un même niveau de ressource, il est nécessaire de disposer au départ d’un capital manufacturé plus élevé si l’on souhaite garantir un montant plus important de consommation à toutes les générations.


Fig. 4: Graphe de la fonction de seuil minimal pour la consommation garantie

B-Minimiser les inégalités entre générations (Annexe A-3) :
Introduire un objectif d’équité consiste à « contrôler le train de vie » des différentes générations de façon à ce qu’aucune d’entre elles ne soit, à un moment ou à un autre, une génération sacrifiée par l’ensemble des choix précédents et des contraintes qu’elles doivent supporter. Dans le modèle étudié ici, chaque génération fait des choix entre consommer, produire (en extrayant plus ou moins de la ressource) et se reproduire. Le résultat de ces choix, en termes d'accumulation de capital, détermine l’éventail des possibilités offertes aux générations suivantes. Sans progrès technique, et avec une fonction de production autorisant la substitution entre les facteurs de production, le niveau de consommation et la fertilité sont les deux éléments qui décident de l’héritage (en quantité et non qualité pour ce modèle) laissé aux générations suivantes. Nous avons donc retenu le niveau de consommation par habitant et considéré que les variations du niveau de consommation moyen (ou dérivée dans le temps de la consommation moyenne) entre générations successives constituaient une mesure de l’« inégalité » entre générations qu’il faut maintenant chercher à réduire.

Contrôler la variation de la consommation moyenne des différentes générations tout en respectant l’ensemble des autres contraintes consiste à ajouter au problème de viabilité précédent une dynamique auxiliaire portant sur la dérivée dans le temps du niveau de la consommation moyenne. Le fait de soumettre la consommation moyenne à l'exercice d'un contrôle change le statut de cette variable. Elle passe formellement du statut de variable de contrôle à celui de variable d’état ce qui augmente la dimension du système, maintenant en dimension 3.

La figure 5 présente la frontière inférieure de ce nouveau noyau de viabilité et la figure 6 montre les trajectoires des variables d'état et des contrôles exercés sur l’évolution représentée dans le noyau de viabilité. Comme dans le cas précédent, le taux de croissance de la population est endogène, c'est un paramètre de régulation qui régit le niveau de la population de façon à ce que l’évolution reste viable, à l'intérieur ou sur la frontière du noyau de viabilité. La description de ce modèle est présentée dans l'annexe A-3.

L'évolution du niveau de consommation par habitant est maintenant déterminée par la dynamique dc/dt=v(t)c(t). Etablir une forme d’équité en limitant les inégalités intergénérationnelles consiste, dans cet exemple, à contraindre v(t), le pourcentage de variation de la consommation moyenne, à être toujours supérieur ou égal à un certain seuil minimum vmin. Lorsque le noyau de viabilité de ce nouveau système n’est pas vide et que la situation initiale appartient à ce noyau, il est possible d’avoir un chemin de développement viable et équitable. Si le niveau de vie moyen d’une population doit diminuer, en raison par exemple d'une incurie de générations précédentes qui auraient trop consommé et pas suffisamment produit, cette diminution sera toujours limitée à la baisse par la contrainte inférieure v ≥ vmin. Cette contrainte s'applique à toutes les périodes de façon rétroactive depuis la fin des temps et, couplée aux autres contraintes, elle interdit les modes de développement où des générations antérieures auraient un comportement trop dispendieux. Si vmin est fixé à zéro, la consommation des générations futures ne devra jamais être inférieure à celle des générations précédentes. Si vmin est négatif cela signifie que la consommation des générations futures pourra diminuer mais jamais en dessous d’un certain pourcentage admissible. Si vmin était positif, cela signifierait que le niveau de vie devrait augmenter de façon exponentielle avec les générations, cas de viabilité improbable dans le cadre de ce modèle.

Nous n’avons pas introduit de borne supérieure considérant d’une part qu’il n’était pas justifié d’imposer une limite au pourcentage d’augmentation des consommations futures et d’autre part parce que l’évolution du niveau de la consommation moyenne des générations futures est de toute façon limitée par les autres contraintes de viabilité (les quantités de biens disponibles conjointement à la taille de la population) et par la règle «  », un « devoir moral » envers les générations à venir, qui s’applique à toutes les générations.

Fig. 5 : Noyau de viabilité du modèle A-3
Ce nouveau noyau de viabilité contient l'ensemble des situations initiales à partir desquelles les évolutions respectent à la fois les contraintes précédentes ainsi que la forme d'équité entre les générations définie plus haut. Il existe un frein à la diminution éventuelle du niveau de consommation par habitant, celui ci ne peut baisser de plus de 5% ( vmin = -0,05). Quelques unes des évolutions viables susceptibles de partir du point de dotation initiale A (k0,s0) sont représentées sur ce graphe. Elles diffèrent selon les diverses combinaisons des décisions (sous contrainte) qui peuvent être prises (consommation, extraction, croissance démographique), ces décisions peuvent également être modifiées à tout moment. La figure 6 montre l'évolution d'une de ces trajectoires, la deuxième trajectoire à partir de la gauche figurée sur le noyau, où les contrôles ont évolué en fonction des valeurs prises par les variables d'état.
La figure 6 représente l'évolution des variables d'état: la consommation par habitant (c), le capital par habitant (k), la quantité de ressource par habitant (s), la population (P) et les contrôles exercés: « l'équité » (c'), croissance démographique (u) et ressource extraite (r). Ce mode de développement est caractérisé à ses débuts par une croissance rapide de la population couplée à un niveau de vie relativement élevé et une augmentation de la consommation moyenne. Ce comportement « égoïste » des premières générations entraîne une décapitalisation, un épuisement rapide de la ressource et la frontière du noyau de viabilité est rapidement atteinte. Pour pouvoir rester viable, la population de cette société doit se stabiliser et le niveau de consommation par tête est obligé de décroître. Les efforts que les générations de cette époque d'austérité sont amenées à faire sont cependant adoucis car la réduction du « niveau de vie » est limitée par le respect d'une « forme d'équité » que la société s'impose. L'ajustement, nécessairement plus long, sera réparti sur un plus grand nombre de générations. En fin d'ajustement, le capital accumulé est suffisamment important pour que la consommation par habitant soit à nouveau en mesure de croître pour les générations suivantes autorisant même une augmentation de la population. Cet exemple d’évolution viable a les mêmes configurations de départ que celle présentée sur la figure 2. La seule différence consiste à avoir imposé une condition d’équité entre générations. Cette condition a eu pour effet de raccourcir la période initiale de décapitalisation. La croissance démographique diminue ici à partir de la 6ième génération, alors que sans condition d’équité, cette période de forte croissance de population s’étale sur 14 générations. L’époque où le niveau de consommation par habitant peut augmenter est également plus précoce et, si il existe, dans les deux cas, une succession de générations sacrifiées, en charge du réajustement, celles-ci sont moins nombreuses lorsqu’on impose une condition d’équité intergénérationnelle.

Fig. 6 : Evolution des variables d'état et de contrôle d'une trajectoire viable (Modèle A-3)


Les exemples présentés sur les figures 2 et 6 d’évolutions viables calculées numériquement ne sont donnés qu'à titre d'illustration. Ils résultent d’un tirage au hasard à partir d’évolutions viables issues d'un point du noyau de viabilité. Ils sont uniquement destinés à montrer visuellement l'apport des outils de la viabilité notamment la possibilité d'endogénéiser les fluctuations des variables d’état (population) et de contrôle (consommation). Le noyau de viabilité et les évolutions qui partent d'un point du noyau dépendent des paramètres introduits dans le modèle. Ils ont été fixés ici de façon cohérente mais arbitraire, en particulier le niveau des bornes minimales et maximales des variables de contrôle (la consommation ou sa variation, l’extraction et le taux de croissance démographique) et surtout du choix de la fonction de production. D'autres fonctions et valeurs de ces paramètres peuvent être explorées. On peut également envisager la construction d'autres « critères » (actions sur les variables d'état), par exemple sur la gestion et la préservation du capital naturel, ou sur la manière de mettre en jeu le progrès technique dont on peut concevoir que l'apparition se fasse par saut en cas de crise.

Durabilité – Viabilité et « Optimalité »
Dans une formalisation plus générale du modèle de Dasgupta, Heal et Solow, où l’ensemble K inclut tous les types de biens (capital manufacturé, naturel, et humain), Weitzman (1976) a montré que la valeur du hamiltonien de ce problème de contrôle optimal était égale au Produit National Net (incluant la dépréciation environnementale). A l’optimum la variation du bien-être global de l’ensemble des générations (défini comme le maximum d’ici à l’infini de la somme des utilités escomptées des différentes générations) est égal à l’investissement net de la génération actuelle. Bien que ce résultat soit difficilement opérationnel, puisque les prix fantômes sont exprimés en unité d'utilités, il a cependant ouvert la voie à la possibilité d'établir des indicateurs de développement durable puisque le bien-être global peut théoriquement être appréhendé par des observations réalisées au temps présent (Asheim, 1997, 2007). Il apporte une nouvelle façon, plus intuitive, de concevoir le développement durable, celle de la non décroissance des actifs, quels qu'ils soient, comme garantie d'un certain bien-être social qui dès lors n'a plus vraiment besoin d'être défini formellement. Considérant que les économies réelles sont des économies imparfaites qui n’atteignent jamais l’optimum, en particulier en raison de l’absence de marchés et de prix pour les biens environnementaux, Arrow et al (2003, 2004) sont allés plus loin en proposant de dissocier optimalité et durabilité et de définir le développement durable comme la non décroissance des investissements nets à chaque période. Cette définition en termes de respect des contraintes et qui ne préjuge pas d’un avenir incertain correspond à l'esprit de la théorie de la viabilité.

Un des attraits de la théorie de la viabilité est la perspective qu'elle offre de pouvoir analyser les systèmes dynamiques sans devoir nécessairement en rechercher les solutions optimales à partir d’un critère particulier prédéfinissant le sens d’une évolution comme cela est le cas avec la théorie du contrôle optimal. En ce sens, l' « approche viabilité » et l' « approche optimalité » sont différentes mais elles ne sont pas non plus en opposition, comme cela est dit parfois, car les outils de la viabilité permettent également de résoudre des problèmes d'optimisation. Nous en donnons un exemple en poursuivant l’analyse qui a été faite de l’équité intergénérationnelle et en introduisant pour cela une fonction qui permet de rechercher la plus « équitable » des évolutions viables : celle où le pourcentage de variation du niveau de consommation par habitant entre générations successives sera le plus faible.



Cette fonction spécifie le plus petit seuil de variation de consommation associé à chaque état initial. On examine, pour chaque évolution issue d’un état initial, les variations de consommation s'exerçant tout au long du temps, on retient pour les comparer la plus grande des valeurs absolues de ces variations pour chaque évolution et on choisit ensuite, comme seuil minimal, la plus petite de ces plus grandes valeurs absolues de ces variations.

Les évolutions les plus « équitables » issues d'une situation actuelle (k,s,c) seront celles qui vérifieront pour tous les temps futurs et telles qu’il existe au moins une date où l’égalisation sera vérifiée.

Tous les autres modes de développement qu'il est possible d'entreprendre à partir de cette situation initiale, conduiront à un moment donné, pour des générations quelconques, à des pourcentages de variation entre générations de la consommation par habitant plus importants.

Le plus petit de ces seuils peut être . S'il existe une évolution viable (durable) telle que ce cas existe, l'évolution la plus équitable sera celle où la consommation par habitant restera constante pour toutes les générations. Définir comme « équitable » cette situation malthusienne où l'augmentation de capital compensera exactement la dépréciation de ressource et la croissance de la population, est contestable. C'est pourquoi, comme cela a été proposé plus haut, il est préférable de n'imposer de limite que sur les variations à la baisse de la consommation moyenne et de considérer que l'équité intergénérationnelle ne doit pas limiter l'augmentation de bien-être des générations futures. On s'intéresse alors à rechercher la valeur de telle que soit toujours supérieur à .
Dans ce cas la fonction s'écrit:

Ce mode de sélection d'une évolution « optimale » conduit à résoudre un problème d'optimisation intertemporelle. Il diffère cependant d’un problème de contrôle optimal classique dans la mesure où le critère est un opérateur « Sup Inf » et non de type « intégral ». Par ailleurs, cette méthode d’optimisation intertemporelle ne nécessite pas que la fonction valeur soit différentiable et, surtout, elle prend en compte l’ensemble de contraintes sans conditions restrictives.
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