La théorie du chaos est pour les mathématiciens une théorie comme une autre, née au XX e





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Le chaos a-t-il tué le déterminisme ?

« La théorie du chaos est pour les mathématiciens une théorie comme une autre, née au XXe siècle. Cependant, il est à craindre que l’intérêt suscité par la théorie du chaos ne soit en partie dû à son nom, et que d’aucuns ne viennent y chercher une théorie du bordel ambiant, ce qui évidemment les exposera à de graves déconvenues, et n’aidera pas au progrès de la science. »
Ivar Ekeland, Le Chaos, professeur de mathématiques à l’Université de Paris-Dauphine
1. Introduction
Avant de rentrer plus avant dans les détails et de poser le problème, attardons nous un instant sur le titre qui contient deux mots dont il est essentiel de fournir la définition. En effet, pour bien comprendre la théorie du Chaos, il faut au préalable être en mesure d’appréhender le concept de Déterminisme au sens physique du terme.
Si les notions liées au hasard et au libre choix sont d'une grande aide dans la pratique, la notion de cause est aussi une conceptualisation utile : la fumée par exemple a une cause qui est le feu. De même les marées ont une cause qui est la Lune : ce n'est pas tout a fait évident, mais la chose était connue des anciens, et cette connaissance pouvait être fort utile. On peut ainsi essayer de tout expliquer comme un enchaînement plus ou moins évident de causes et d'effets. On arrive ainsi à une vision déterministe de l'univers.

Si l'on y réfléchit un peu, le déterminisme, c'est-à-dire l’enchaînement bien ordonné des causes et des effets semble en contradiction avec la notion de hasard. Sénèque, qui eut la charge d’éduquer le jeune Néron se penche sur le problème dans le De Providentia et dit ceci : "les phénomènes même qui paraissent le plus confus et le plus irrégulier : je veux dire les pluies, les nuages, les explosions de la foudre, …, ne se produisent pas capricieusement : ils ont aussi leurs causes." Cette affirmation porte en germe le Déterminisme scientifique, mais il faut bien voir que son contenu est surtout idéologique. Sénèque était un amateur d'ordre, un ordre imposé par une loi éternelle et divine. Le désordre et le hasard le répugnaient.
En fait si l'on s'intéresse aux problèmes de causalité et de déterminisme mieux vaut choisir un problème plus simple. Par exemple celui d'une pierre jetée en l'air, surtout s'il n'y a pas d'air. On peut en effet, avec une très bonne précision, décrire par des équations déterministes la trajectoire d'une pierre jetée en l'air.

Si l'on connaît les conditions initiales, c'est-à-dire la position et la vitesse de la pierre à l'instant initial, on peut calculer la position et la vitesse à n'importe quel autre instant futur.
Exemple du ballon de football et de la passe à un coéquipier.

En observant pendant un court instant la trajectoire du ballon, le joueur « détermine » le lieu précis où le ballon va tomber, i.e., par expérience, il analyse deux instants passé et présent du ballon et il en déduit le point d’impact futur du ballon et vers lequel il se dirige.
Au lieu d'une pierre jetée en l'air nous pouvons considérer le ballet des planètes et autres corps célestes autour du Soleil. Dans tous ces cas l'évolution temporelle du système considéré, c'est-à-dire son mouvement, satisfait à des équations déterministes. Si l'on veut, on peut dire que les conditions initiales d'un système sont la cause de son évolution ultérieure et la déterminent complètement.

Voilà qui devrait satisfaire Lucius Annaeus Seneca.

Notons quand même que le concept de cause a été remplacé par celui d'évolution déterministe, ce qui n'est pas tout à fait la même chose. Par exemple, les équations de Newton qui déterminent les mouvements des planètes permettent à partir de conditions initiales données de calculer non seulement les états futurs du système solaire, mais également les états passés. On a oublié que la cause devait précéder l'effet. En fait, l'analyse scientifique du concept de cause montre qu'il s'agit d'une notion complexe et ambiguë.
Mais le concept de déterminisme est étroitement lié aux notions de système dynamiques non-linéaires et de rétroaction ou feedback. Il est donc nécessaire de nous familiariser avec ces notions avant de poursuivre.
2. Définitions
Le mot dynamique vient du grec dyn qui signifie la force. En principe en Physique on utilise ce mot pour désigner un système soumis à des forces. Par exemple, le jet d’une pierre ou celui d’un ballon de football constitue un système soumis à des forces. Le ballon est soumis à la force de gravitation qu’on appelle plus simplement son poids est c’est la cause qui infléchit sa trajectoire jusqu’à le ramener au sol. Il peut être soumis à d’autres forces comme celles produites la résistance de l’air : les frottements. Mais si l’on s’intéresse maintenant à l’évolution d’un véhicule ou de plusieurs dans le trafic urbain ou un embouteillage. L’important alors dans la trajectoire du véhicule n’est plus les forces qu’il subit mais les raisons qui motivent sa présence en un point précis de la ville comme le fait d’aller chercher des enfants à l’école ou d’aller à la banque mais ceci ne peut absolument pas être représenté par une force.

Donc nous adopterons pour le mot dynamique, non plus la définition classique utilisée en Physique mais celle-ci :
Un phénomène dynamique est un processus dans lequel se produit une évolution.
Et nous engloberons dans cette acception tous les phénomènes y compris ceux qui ne sont pas soumis à des forces : comme la météorologie, les fluctuations boursières, l’évolution d’une population, …
Ce qui évolue dans un processus est appelé variable. Par exemple, pour le tir du ballon, la variable peut être la position (passé, présente mais surtout future), pour la météorologie, ce peut être la température, la pression ou l’hygrométrie, pour l’évolution d’une population, le nombre d’individus …
Enfin le processus lui-même est appelé système.
Donc,
Un système dynamique transcrit l’évolution d’une ou plusieurs variables.
De plus,
Un système dynamique déterministe est un système prédictible.
« Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent, si d'ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données à l'analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l'univers et ceux du plus léger atome : rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir, comme le passé, serait présent à ses yeux. »
Cette conception déterministe du marquis Pierre Simon de Laplace (1749-1827) implique que tout le futur est contenu, déterminé par le présent, et que, connaissant les lois du mouvement et les conditions initiales, on peut déterminer avec certitude tout mouvement futur. Il écrivait encore :
« Nous devons envisager l'état présent de l'univers comme l'effet de son état antérieur et comme cause de celui qui va suivre. »
On appelle parfois « démon de Laplace » cette hypothétique conscience qui, ayant une parfaite connaissance de tous les éléments et de toutes les relations d'un système, connaîtrait aussi bien le passé que le futur…

Mais nous y reviendrons toute à l’heure.
Comment représenter un système dynamique ?
Un système dynamique est généralement représenté par un ensemble de plusieurs équations différentielles, en général deux ou trois.

Equations qui ne possèdent pas toujours de solution accessibles analytiquement.
Exemple : Le grand mathématicien français Evariste Galois a montré que les équations algébriques de degré supérieur ou égal à 5 ne pouvaient être résolues par la méthode des discriminants, i.e., qu’il n’existait pas de méthode analytique générale d’obtention de leurs solutions comme c’est le cas pour les équations de degré inférieurs comme un ou deux.
Comment résoudre alors l’équation x5 +1 = 0 ?

Différentes méthodes de détermination approchée des solutions de telles équations ont été développées sous la forme d’algorithmes analytiques par Isaac Newton, Léonard Euler …

Ces algorithmes sont en réalités des encadrements de chaque solution par une technique de dichotomie qui consiste à déterminer dans quel intervalle elle se trouve et à diviser cet intervalle jusqu’à obtenir le plus petit intervalle dans lequel la solution est contenue. Ceci ayant pour but d’augmenter la précision du résultat.

A ce propos quelle est l’importance de la précision dans les calculs ?
Si vous demandez a un physicien les équations d'évolution pour tel ou tel phénomène, il vous demandera avec quelle précision vous les voulez. Dans l'exemple de la dynamique du système solaire, suivant la précision requise, on tiendra compte ou non du ralentissement de la rotation de la Terre par effet de marée, ou du déplacement du périhélie de Mercure dû à la relativité générale. Il faudra d'ailleurs bien s'arrêter quelque part : on ne peut pas tenir compte, vous en conviendrez, des déplacements de chaque vache dans sa prairie, ou de chaque puceron sur son rosier. Même si, en principe, les déplacements de la vache et du puceron perturbent quelque peu la rotation de la Terre. En bref, la physique répond aux questions qu'on lui pose avec une précision qui peut être remarquable, mais pas absolument parfaite. Et cela n'est pas sans conséquences philosophiques et physiques, comme nous le verrons plus loin.

D’autre part, il faut briser ici je crois, une image classique du chercheur assujetti à son ordinateur et dont lui seul aurait les réponses à ces questions.

Les physiciens et mathématiciens du début du XXe siècle ne possédaient évidemment pas d’ordinateur mais cela n’a pas empêché l’un d’entre eux, Henri Poincaré (1854-1912) d’inventer la théorie du chaos mais nous y reviendrons.
Que fait un ordinateur ?

Un ordinateur est une sorte d’énorme machine à calculer qui peut effectuer des milliards d’opérations en une seconde. Opérations que n’importe quel être humain pourrait réalisé mais il lui faudrait plusieurs mois ou plusieurs années pour y parvenir. C’est la raison pour laquelle ils sont tellement utilisés.

Pour en revenir à notre équation, un algorithme a tout simplement été implanté dans un ordinateur et il peut ainsi calculer la solution de cette équation en une seconde avec une très grande précision qui dépend néanmoins de celle de l’algorithme implanté dans l’ordinateur. Le même calcul prendrait environ une heure si on devait le faire à la main et ne permettrait d’accéder à une aussi grande précision qu’en augmentant le nombre de décimales dans chaque opération c’est-à-dire en multipliant par deux ou par trois le temps de calcul.

Les ordinateurs vont donc nous permettre de représenter les solutions dites numériques des équations du système dynamique que nous étudions.
La solution d’un système dynamique s’appelle la trajectoire
Résolution de x5 +1 = 0 avec Mathématica V
A l’époque de Poincaré et en reprenant une notation qu’il a lui-même inventé on représentait l’évolution de deux variables x et y d’un système dynamique dans un plan sur une simple feuille de papier. On dessinait un repère et on plaçait deux axes. On traçait, soit l’évolution de la variable x en fonction du temps, soit l’évolution de la variable y en fonction du temps, soit l’évolution de la variable y en fonction de celle de x, dans ce dernier cas il s’agit de ce que Poincaré nomme le portrait en phase.
Exemple du tir de ballon

Si l’on revient à notre tir de ballon on peut représenter la trajectoire, i.e., la position du ballon dans l’espace à chaque instant, en utilisant un système de coordonnées qui décrivent l’espace dans lequel ce ballon évolue.

C’est une sorte de cube qui symbolise le terrain et que Poincaré appelle le portrait en phase. Chacun son style …

Missiles Patriot

Tests avec plusieurs CI
Nous avons vu précédemment que les conditions initiales déterminent dans son ensemble le mouvement, i.e., la trajectoire.

Ainsi, par chaque point de l’espace de phase passe une trajectoire et une seule.

Ce qui implique qu’elles ne se coupent jamais. En effet, si tel était le cas la même condition initiale (le point d’intersection) pourrait donner naissance à deux évolutions différentes.
Maintenant que nous avons défini un système dynamique déterministe, sa solution, i.e., trajectoire et l’espace dans lequel elle évolue, i.e., espace de phase, il nous reste à définir deux mots indissociables de la dynamique des systèmes : non-linéaire et rétroaction qui est la traduction française du mot feedback.
Qu’est-ce qu’un phénomène non-linéaire ?

Pour pouvoir répondre à cette question, il faut déjà être en mesure de définir un phénomène linéaire. L’évolution d’une variable dans un phénomène linéaire peut être représentée par une droite. C’est-à-dire par une fonction mathématique dans laquelle la variable n’apparaît qu’à la puissance 1 : y = ax
Par exemple, imaginez que la taille des individus augmente de trois centimètres par an, les octogénaires pourraient changer les ampoules sans monter sur une échelle. Naturellement l’évolution de la taille des individus en fonction de leur âge n’est pas une relation linéaire. De même, l’évolution du nombre de chômeurs en France n’augmente pas ou ne diminue pas d’un certain nombre de millier chaque jour. Il se produit des fluctuations inhérentes aux problèmes socio-économiques qui font que cette évolution ressemble davantage à un électrocardiogramme, i.e., à tous sauf à une droite. Dans ce cas l’évolution de la variable est représentée par une fonction mathématique qui n’est plus une puissance de un et qui peut être une puissance de deux, de trois, ou pire encore une fonction trigonométrique, hyperbolique, homographique, …

Tout est possible.

C’est là le point crucial du problème car un système dynamique déterministe qui possède en son sein des termes non-linéaires est en général non-intégrable, i.e., il ne sera pas possible d’extraire analytiquement sa solution. Il faudra donc pour l’obtenir utiliser une des méthodes énoncée plus haut ou un ordinateur.
Le drame c’est que la non-linéarité apparaît dès que l’on veut rendre plus réaliste le système dynamique déterministe que l’on étudie.

Prenons par exemple un pendule. Non pas un de ceux qu’utilisent les radiésthésistes, un pendule simple celui de Galilée qui permet de part sa période de mesurer le temps qui passe par exemple. Si on se limite au cas où la résistance de l’air n’a aucune influence sur notre pendule, i.e., si l’on considère que la petite bille et le fil qui constituent ce pendule ne sont pas freiner par l’air, on obtient un gentil, les anglais disent smooth (lisse), système dynamique dont la solution, i.e., la trajectoire que l’on obtient analytiquement sans trop de difficultés nous montre que le pendule ne s’arrête jamais.

C’est-à-dire que nous venons de découvrir le mouvement perpétuel.

Ceci simplement par ce que, par hypothèse, on a choisi de négliger la résistance de l’air. Si l’on souhaite rendre plus réaliste le problème et tenir compte de ce que l’on appelle en physique les frottements, on va devoir ajouter à nos équations un terme non-linéaire qui transcrit cette résistance.

Le système obtenu est beaucoup plus complexe que le précédent simplement parce qu’on a voulu rendre compte d’un aspect supplémentaire de la réalité et sa résolution est plus difficile que la précédente.
Ainsi, dans un problème de physique, plus on va augmenter le degré de réalisme du modèle plus on va augmenter la complexité des équations du système.

Il nous reste à définir un dernier terme la rétroaction ou feedback.

La rétroaction est une caractéristique des systèmes dans lesquels la sortie, ou le résultat affecte l’entrée altérant ainsi leur fonctionnement.

On trouve de la rétroaction sur les places boursières par exemple.

En effet, si les prix augmentent trop haut, la demande chute et les prix baissent.

De même, lorsqu’on place des radars sur les routes au début le nombre de contraventions est important puis il diminue à mesure que les automobilistes modifient leur comportement en fonction de la présence des radars.
En général une rétroaction correspond à l’introduction d’un ou plusieurs termes non-linéaires dans le système dynamique déterministe. Les effets de cette introduction sont une condition préalable pour qu’il y ait du chaos.

Mais voyons tout d’abord un exemple de système dynamique non-linéaire déterministe avant d’appréhender cette dernière notion.
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