Limite en zéro d'une fonction





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NOMBRE DERIVÉ


I. Limite en zéro d'une fonction
Exemples :

1) Soit la fonction f définie sur par .

L'image de 0 par la fonction f n'existe pas. On s'intéresse cependant aux valeurs de lorsque x se rapproche de 0.



x

-0,5

-0,1

-0,01

-0,001



0,001

0,01

0,1

0,5



1,5

1,9

1,99

1,999

?

2,001

2,01

2,1

2,5


On constate que se rapproche de 2 lorsque x se rapproche de 0.

On dit que la limite de f lorsque x tend vers 0 est égale à 2 et on note : .
2) Soit la fonction g définie sur par .

A l'aide de la calculatrice, on constate que devient de plus en plus grand lorsque x se rapproche de 0.

On dit que la limite de g lorsque x tend vers 0 est égale à et on note : .


II. Dérivabilité
1) Taux d’accroissement
Exemple :

Soit une fonction f définie sur un intervalle I.

Soit A et B deux points de la courbe représentative de f d'abscisses respectives 1 et 4.

Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à : .

Ce quotient est appelé le taux d’accroissement de f entre 1 et 4.



2) Application en économie :
On considère la fonction notée CC(q) représente le coût total de production de q unités.
On appelle coût marginal de la q+1e unité produite, noté Cm(q), le coût supplémentaire induit par la production d’une unité supplémentaire.
C’est le taux d’accroissement de la fonction C entre q et q+1.

En effet, .
Méthode : Calculer un taux d’accroissement
1) Soit la fonction carrée f définie sur ℝ par .

a) Calculer le taux d'accroissement de f entre 2 et 3.

b) Soit h un réel non nul. Calculer le taux d'accroissement de f entre 2 et 2+h.

2) On considère le coût de production C de q objets définie par .

a) Calculer le coût marginal du 15e objet.

b) Exprimer le coût marginal du qe objet.

1) a)

b)

2) a)

b)

3) Fonction dérivable




Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Soit un réel a appartenant à I.

Soit A et M deux points de la courbe représentative de f d'abscisses respectives a et a+h, avec h  0.

Le taux d’accroissement de f entre a et a+h est : .
Lorsque le point M se rapproche du point A, alors h tend vers 0 et le taux d’accroissement tend vers une limite L.

Ce taux limite s'appelle le nombre dérivé de f en a.

Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s’il existe un nombre réel L, tel que : .

L est appelé le nombre dérivé de f en a et on le note f ‘(a).

Méthode : Déterminer le nombre dérivé d’une fonction
Vidéo https://youtu.be/UmT0Gov6yyE

Vidéo https://youtu.be/Iv5_mw1EYBE
Soit la fonction trinôme f définie sur par .

Déterminer le nombre dérivé de f en .
On commence par calculer pour h  0.

On a :



Donc :
On en déduit que f est dérivable en . Le nombre dérivé de f en 1 vaut 2.

On note : f ‘(1) = 2.
III. Tangente à une courbe
Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a appartenant à I.

f ‘(a) est le nombre dérivé de f en a.

A est un point d'abscisse a appartenant à la courbe représentative de f.
Définition : La tangente à la courbe au point A d’abscisse a est la droite passant par A de coefficient directeur le nombre dérivé f ‘(a).



Méthode : Déterminer le coefficient directeur d'une tangente à une courbe
Vidéo https://youtu.be/0jhxK55jONs
On considère la fonction trinôme f définie sur par dont la dérivabilité en 1 a été étudiée plus haut.

Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 1.

On a vu que le nombre dérivé de f en 1 vaut 2.

Ainsi la tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 1 est la droite passant par A et de coefficient directeur 2.


Propriété : Une équation de la tangente à la courbe en A est :

y = f ‘(a) (xa) + f(a)
- Admis -

Méthode : Déterminer une équation d'une tangente à une courbe
Vidéo https://youtu.be/fKEGoo50Xmo

Vidéo https://youtu.be/7-z62dSkkTQ
On considère la fonction trinôme f définie sur par .

Déterminer une équation de tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 1.

On a vu plus haut que le coefficient directeur de la tangente est égal à 2.

Donc son équation est de la forme : , soit :



Une équation de tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 1 est .

A l’aide de la calculatrice, il est possible de tracer la tangente à une courbe en un point.
Une fois la courbe tracée sur la calculatrice :
Avec TI-83 : Touches « 2nde » + « PGRM » (Dessin) puis « 5: Tangente » et saisir l’abscisse du point de tangence, ici 2. Puis « ENTER ».
Casio 35+ : Touches « SHIFT » + « F4 » (Skech) puis « Tang » et saisir l’abscisse du point de tangence, ici 2. Puis « EXE » + « EXE ».



Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr


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