Limite en zéro d'une fonction
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sur NOMBRE DERIVÉ I. Limite en zéro d'une fonction Exemples : 1) Soit la fonction f définie sur  par  .L'image de 0 par la fonction f n'existe pas. On s'intéresse cependant aux valeurs de  lorsque x se rapproche de 0. 
On constate que se rapproche de 2 lorsque x se rapproche de 0.On dit que la limite de f lorsque x tend vers 0 est égale à 2 et on note :  .2) Soit la fonction g définie sur par  .A l'aide de la calculatrice, on constate que  devient de plus en plus grand lorsque x se rapproche de 0.On dit que la limite de g lorsque x tend vers 0 est égale à  et on note :  .II. Dérivabilité 1) Taux d’accroissement Exemple : Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Soit A et B deux points de la courbe représentative de f d'abscisses respectives 1 et 4. Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à :  .Ce quotient est appelé le taux d’accroissement de f entre 1 et 4.  2) Application en économie : On considère la fonction notée C où C(q) représente le coût total de production de q unités. On appelle coût marginal de la q+1e unité produite, noté Cm(q), le coût supplémentaire induit par la production d’une unité supplémentaire. C’est le taux d’accroissement de la fonction C entre q et q+1. En effet,  .Méthode : Calculer un taux d’accroissement 1) Soit la fonction carrée f définie sur ℝ par  .a) Calculer le taux d'accroissement de f entre 2 et 3. b) Soit h un réel non nul. Calculer le taux d'accroissement de f entre 2 et 2+h. 2) On considère le coût de production C de q objets définie par  .a) Calculer le coût marginal du 15e objet. b) Exprimer le coût marginal du qe objet. 1) a)  b)  2) a)  b)  3) Fonction dérivable  Soit une fonction f définie sur un intervalle I. Soit un réel a appartenant à I. Soit A et M deux points de la courbe représentative de f d'abscisses respectives a et a+h, avec h 0. Le taux d’accroissement de f entre a et a+h est :  .Lorsque le point M se rapproche du point A, alors h tend vers 0 et le taux d’accroissement  tend vers une limite L.Ce taux limite s'appelle le nombre dérivé de f en a. Définition : On dit que la fonction f est dérivable en a s’il existe un nombre réel L, tel que :  .L est appelé le nombre dérivé de f en a et on le note f ‘(a). Méthode : Déterminer le nombre dérivé d’une fonction  Vidéo https://youtu.be/UmT0Gov6yyE Vidéo https://youtu.be/Iv5_mw1EYBE Soit la fonction trinôme f définie sur  par  .Déterminer le nombre dérivé de f en  . On commence par calculer  pour h 0.On a :   Donc :  On en déduit que f est dérivable en . Le nombre dérivé de f en 1 vaut 2.On note : f ‘(1) = 2. III. Tangente à une courbe Soit une fonction f définie sur un intervalle I et dérivable en un nombre réel a appartenant à I. f ‘(a) est le nombre dérivé de f en a. A est un point d'abscisse a appartenant à la courbe représentative  de f.Définition : La tangente à la courbe  au point A d’abscisse a est la droite passant par A de coefficient directeur le nombre dérivé f ‘(a). Méthode : Déterminer le coefficient directeur d'une tangente à une courbe Vidéo https://youtu.be/0jhxK55jONs On considère la fonction trinôme f définie sur par dont la dérivabilité en 1 a été étudiée plus haut.Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 1. On a vu que le nombre dérivé de f en 1 vaut 2. Ainsi la tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 1 est la droite passant par A et de coefficient directeur 2.  Propriété : Une équation de la tangente à la courbe en A est :y = f ‘(a) (x – a) + f(a) - Admis - Méthode : Déterminer une équation d'une tangente à une courbe Vidéo https://youtu.be/fKEGoo50Xmo Vidéo https://youtu.be/7-z62dSkkTQ On considère la fonction trinôme f définie sur par .Déterminer une équation de tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 1. On a vu plus haut que le coefficient directeur de la tangente est égal à 2. Donc son équation est de la forme :  , soit : Une équation de tangente à la courbe représentative de f au point A de la courbe d'abscisse 1 est  . A l’aide de la calculatrice, il est possible de tracer la tangente à une courbe en un point. Une fois la courbe tracée sur la calculatrice : Avec TI-83 : Touches « 2nde » + « PGRM » (Dessin) puis « 5: Tangente » et saisir l’abscisse du point de tangence, ici 2. Puis « ENTER ». Casio 35+ : Touches « SHIFT » + « F4 » (Skech) puis « Tang » et saisir l’abscisse du point de tangence, ici 2. Puis « EXE » + « EXE ».   |
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