Annexe 1
Copies d’écrans des fichier stat_gisement_eolien.xlsx et stat_gisement_eolien.ggb
stat_gisement_eolien.xlsx :
stat_gisement_eolien.ggb
Annexe 2 ¨C Commentaires à propos de la modélisation retenue
La modélisation de la distribution de la fréquence des vents sur un site éolien est communément décrite par une distribution de Weibull, définie par :
µ §
où µ § est un réel strictement positif, appelé paramètre d’échelle de la distribution, proportionnel à la vitesse moyenne des vents, et µ § un réel strictement positif, appelé paramètre de forme. On reconnait une expression de la forme µ §, ce qui permet de calculer aisément la fonction de répartition. Dans le cas particulier µ §, on retrouve la distribution de Rayleigh, qui est la distribution standard utilisée par les fabricants d’éoliennes pour établir les caractéristiques techniques de leurs matériels. En pratique, ce coefficient prend souvent des valeurs comprises entre 1 et 3.
Les sujets proposés ici s’appuient sur une distribution réelle des vents
5 où le site a été choisi de telle façon que le paramètre de forme soit très proche de 2, afin d’obtenir une fonction définie par une expression algébrique aussi simple que possible.
L’estimation de la puissance restituée par une éolienne dépend bien évidemment de son type et de ses caractéristiques techniques qui délimitent également sa plage de fonctionnement
6.
La puissance moyenne s’exprime de la façon suivante :
µ §
Le calcul qui en découle dans ces activités, est une approximation de cette puissance moyenne, par la méthode des trapèzes, avec une hauteur de une unité pour chacun des trapèzes, ce qui conduit à :
µ §
On obtient ainsi la formule :
µ §
qui pourrait être comparée avec profit aux données fournies par les fichiers fournis stat_gisement_eolien.xlsx ou stat_gisement_eolien.ggb.
Exercices pour la filière STL Biotechnologie
Analyse de données
Exercice inspiré du document ressource pour le bac STAV de l’enseignement agricole.
L’objectif de l’exercice est de choisir un modèle qui permettra d’avoir une idée des périodes de retour de fortes précipitations d’une ville du sud de la France. L’idée n’est pas de prévoir la date de ces événements, mais une périodicité afin d’envisager les infrastructures nécessaires qui puissent limiter les conséquences de ces fortes précipitations. Pour ce faire, on s’appuie sur le relevé statistique suivant, concernant la ville étudiée, qui donne, en fonction de la hauteur (en millimètres) recueillie en trois heures, la durée de retour entre deux situations analogues de fortes précipitations exprimée en années. Par exemple, on peut s’attendre, pour cette ville, à ce que tous les 5 ans, il y ait un épisode pluvieux apportant 70 mm de précipitations en trois heures.
h en mmDurée de retour (en année)2015026037059010120201403016050200100
On admet que l’on peut modéliser la durée de retour de fortes précipitations en fonction de la hauteur µ § exprimée en millimètres, par une fonction µ §définie sur µ § par
µ §où µ § et µ § sont deux nombres réels.
En utilisant les valeurs grisées dans le tableau, écrire un système de deux équations vérifié par µ § et µ §.
On admet que µ §. Déterminer la valeur de µ § arrondie au millième.
Pour la suite, on suppose que µ §.
On a représenté en annexe le nuage de points correspondant au relevé statistique.
Construire la représentation graphique de la fonction µ §dans le même repère.
Déterminer graphiquement la durée de retour de précipitations apportant 100 millimètres d’eau en 3 heures.
Résoudre l’équation µ §, en arrondissant le résultat à l’unité.
Comment peut-on interpréter la solution de cette équation ?
Le maire de la commune veut engager des travaux d’infrastructure permettant la canalisation de l’eau en cas de fortes précipitations pour les 40 prochaines années.
Une entreprise propose un projet permettant de gérer des précipitations de 145 mm au maximum sur 3 heures.
Le maire peut-il retenir le projet de cette entreprise ? Justifier la réponse.
Annexe
Analyse didactique
Compétences mises en jeu dans cet exercice.
123) a.3) b.4ChercherXModéliserXReprésenterXXCalculerXXRaisonnerCommuniquerXXXLa prise d'initiative se situe dans la question 4 dans laquelle il faut synthétiser l'ensemble du problème.
Suites
Exercice inspiré du document ressource pour le bac STAV de l’enseignement agricole.
L’objectif de l’exercice est l’étude de l’évolution d’une tumeur cancéreuse.
Tout cancer débute par la production d’une cellule cancéreuse. Au cours du temps, cette cellule va produire un ensemble de cellules filles appelé tumeur. On observe que le temps de doublement T d’une tumeur cancéreuse (c’est-à-dire le temps mis par une tumeur donnée pour doubler son nombre de cellules) est sensiblement constant pour un type de cancer donné. Ce temps dépend cependant du type de cancer.
Ce temps de doublement peut être évalué sur des cellules prélevées dans la tumeur et mises en culture. Actuellement, la plus petite tumeur cancéreuse détectable est constituée de µ §cellules, ce qui correspond à peu près à une tumeur de masse égale à 1 gramme.
On modélise la situation par une suite µ §, le réel µ § permettant d’obtenir une estimation du nombre de cellules cancéreuses de la tumeur observée, au bout de µ § périodes. On pose µ §.
Justifier que µ §. Combien y a-t-il de cellules dans la tumeur observée au bout de 4 périodes ?
On considère l’algorithme suivant :
Variables : X, N
Initialisation :
Affecter à X la valeur 1
Affecter à N la valeur 0
Traitement :
Tant que X < 109
Affecter à X la valeur 2 × X
Affecter à N la valeur N + 1
Fin tant que
Sortie :
Afficher N
Que représente le nombre affiché en sortie de cet algorithme ?
De source médicale, le temps nécessaire à la détection d’une tumeur issue d’une seule cellule cancéreuse est égal à 30 fois son temps de doublement.
Justifier cette affirmation.
Pour un cancer du sein, le temps de doublement T est de 14 semaines.
Combien de temps doit-il s’écouler pour qu’un cancer du sein soit détectable à partir de la présence d’une cellule cancéreuse ?
Après le traitement d’un cancer du sein, il est d’usage de surveiller la personne traitée sur une période de 5 ans. Sachant qu’un traitement chirurgical peut laisser en résidu indétectable une masse tumorale de µ § cellules, expliquer l’origine du choix de 5 ans comme période de surveillance d’un cancer du sein après traitement chirurgical.
Analyse didactique
Compétences mises en jeu dans cet exercice.
12345ChercherXXModéliserXReprésenterCalculerXXXXRaisonnerCommuniquerXXXLa prise d'initiative se situe dans la dernière question. Dans une version formation, on pourrait éliminer l'algorithme et ainsi laisser le choix de la méthode pour répondre à la question 3.
Exercices pour la filière STMG
Probabilités
D’après une proposition de l’académie de Créteil
Version évaluation avec prise d’initiative
Vivre aÌ Paris ou en Province
En novembre 2013, un échantillon représentatif de la population française a été interrogé pour l’institut de sondage BVA et s’est vu posé la question suivante :
« Si vous aviez le choix, préféreriez-vous vivre à Paris ou en Province ?».
L’institut de sondage a publié les résultats sous la forme du graphique ci-dessous.
L’objectif est de déterminer la proportion µ § de personnes interrogées habitant dans l’agglomération parisienne, proportion qui n’a pas été communiquée par l’institut de sondage et de s'assurer qu'elle correspond à la proportion d'habitants en région parisienne (sinon le sondage aurait toutes les chances d’être biaisé).
1) D’après les données fournies par l’institut de sondage, indiquer :
la proportion de provinciaux qui préféreraient vivre en agglomération parisienne.
la proportion d'habitants de la région parisienne qui préféreraient vivre en agglomération parisienne.
2) On interroge au hasard l’une des personnes questionnées par le sondage, et on note les événements :
A « la personne vit en région parisienne »
B « la personne préférerait vivre en région parisienne ».
Compléter l’arbre pondéré ci-contre.
3) Déterminer la proportion µ §. Analyse didactique
Compétences mises en jeu dans cet exercice.
1) a.1) b.23ChercherXReprésenterXCalculerXRaisonnerCommuniquerXXXLa prise d’initiative se situe essentiellement à la question 3 où il s’agit d’exprimer la probabilité de l’événement B en fonction de p à partir de la lecture de l’arbre sans que les étapes intermédiaires ne soient fournies.
Version formation
Vivre aÌ Paris ou en Province
En novembre 2013, un échantillon représentatif de la population française a été interrogé pour l’institut de sondage BVA et s’est vu posé la question suivante :
« Si vous aviez le choix, préféreriez-vous vivre à Paris ou en Province ?».
L’institut de sondage a publié les résultats sous la forme du graphique ci-dessous.
L’objectif est de déterminer la proportion µ § de personnes interrogées habitant dans l’agglomération parisienne, proportion qui n’a pas été communiquée par l’institut de sondage et de s'assurer qu'elle correspond à la proportion d'habitants en région parisienne (sinon le sondage aurait toutes les chances d’être biaisé).
Première approche à l’aide d’un tableur
On propose ici de faire une étude numérique du problème, à l’aide d’une feuille de calcul comme ci-dessous, en supposant que 1000 habitants en France ont été interrogés pour ce sondage :
Établir une telle feuille de calcul et proposer une solution au problème posé.
Deuxième approche
Modéliser la situation étudiée à l’aide d’un arbre pondéré puis résoudre le problème posé.
3) Comparer les solutions obtenues aux questions 1) et 2) en fonction de la proportion réelle de parisiens en France.
Analyse de données
D’après une proposition de l’académie d’Amiens
Version évaluation avec prise d’initiative
L’Institut National de la Statistique et des Études Économiques [INSEE] collecte, produit, analyse et diffuse des informations sur l'économie et la société française.
Du site de l’INSEE on a extrait un tableau dans lequel figure l’évolution de l'âge moyen et de l'âge médian de la population française jusqu'en 2014.
Il semble intéressant d’étudier l’évolution de ces deux séries.
1) Que représentent l’âge moyen et l’âge médian pour la population française ?
On a représenté sous forme de graphiques les données de l’INSEE.
Lorsque l’on observe l’évolution de l’âge moyen et de l'âge médian, la courbe de tendance affichée par le tableur suggère que l’âge moyen et l'âge médian d’une année peuvent s’obtenir en additionnant à la valeur de l’année précédente un même nombre réel (indépendant de l’année).
2) Quel pourrait être alors l’âge moyen pour l’année 2015 ?
3) Quelle procédure pourrait-on envisager avec le tableur pour vérifier cette conjecture ?
4) Le tableur indique qu'une bonne approximation de l'âge moyen est donnée par la droite d'équationµ §. De combien augmente l'âge moyen tous les ans ? Comparer avec le résultat précédent.
5) Estimer graphiquement en quelle année, l'âge médian dépassera l'âge moyen. Comment expliquer ce phénomène ?
Analyse didactique
La prise d’initiative apparaît essentiellement aux questions 3 et 5 où il s’agit de concevoir une procédure.
Compétences mises en jeu dans cet exercice :
12345ChercherXXXModéliserReprésenterXCalculerXXXRaisonnerXCommuniquerXX
Version formation
Dans la version suivante, on demande d'expliquer comment le tableur calcule la droite d'approximation. La référence à la droite de régression est implicite.
L’Institut National de la Statistique et des Études Économiques collecte, produit, analyse et diffuse des informations sur l'économie et la société française. Du site de l’INSEE on a extrait un tableau dans lequel figure l’évolution de l'âge moyen et de l'âge médian de la population française jusqu'en 2014.
Il semble intéressant d’étudier l’évolution de ces deux séries.
1) Que représentent l’âge moyen et l’âge médian pour la population française ?
On a représenté sous forme de graphique les données de l’INSEE.
Lorsque l’on observe l’évolution de l’âge moyen et l'âge médian, la courbe de tendance affichée par le tableur suggère qu’elles sont bien approximées par des droites. Le tableur calcule qu'une équation pour la droite approximant l'âge moyen est donnée par µ §.
2) Expliquer comment on peut obtenir une telle droite.
3) Déterminer la droite analogue approximant l'âge médian.
4) À partir de quelle année, l'âge médian dépassera-t-il l'âge moyen ? Comment expliquer ce phénomène ?
