§¤ prend la valeur µ §.
Pour k allant de 0 à n faire
s prend la valeur s + f (k§¤)
Fin Pour
s prend la valeurµ §
Afficher s
Fin3) Donner une approximation de µ § sachant que, après correction, l’algorithme fournit les résultats suivants :
pour µ § etµ §, on obtient en sortie la valeur µ § ;
pourµ § et µ §, on obtient en sortie la valeur µ §.
Partie 2 : Valeur exacte de µ § .
1) Déterminer une primitive de la fonction µ § sur l’intervalle µ § en observant que l’une des primitives pourrait avoir la forme suivante :
µ §.
2) Vérifier que µ § est bien une fonction densité.
3) En déduire la valeur exacte de µ §.
Analyse didactique
Compétences mises en jeu dans cet exercice.
I.1I.2I.3II.1II.2II.3ChercherXXXReprésenterXCalculerXXXRaisonnerXCommuniquerXLa prise d'initiative se situe dans la question 1 de la partie 1 et la question 1 de la partie 2.
Version formation
Dans une population de lycéens, la durée en minutes d’une conversation sur téléphone portable peut être modélisée par une variable aléatoire µ § suivant la loi de probabilité de densité µ §, définie sur µ § par :
µ §
On admet, dans un premier temps, que µ §est bien une densité de probabilité et on note µ § la courbe représentative de la fonction µ § dans le repère orthogonal µ §
Le but du problème est de déterminer la probabilité qu’une conversation sur téléphone portable dure plus de µ § minutes sachant qu’elle a déjà duré au moins µ § minutes.
Question préliminaire
Exprimer la probabilité cherchée en fonction des probabilités µ § et µ §
Partie 1 : estimation de µ §par la méthode de Monte Carlo
La méthode consiste à choisir successivement au hasard µ § points dans le rectangle µ § où µ §, µ § et µ § puis d’associer à cet échantillon de µ § points la fréquence µ § de points situés sous la courbeµ §.
Si µ § est « assez grand », la loi des grands nombres permet alors de dire que µ § est une «bonne approximation» de la probabilité qu’un point choisi au hasard dans µ § appartienne au domaine µ § délimité par µ §, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives µ § et µ §.
1) En notant µ § l’aire du rectangle µ §, donner « une bonne approximation » de µ § l’aire du domaine µ § en fonction deµ §et µ § pour µ § « assez grand ».
2) Obtention d’une telle approximation µ § à l’aide du logiciel GeoGebra.
Tracer la courbe de la fonction µ §et créer un curseur pour µ § allant deµ § à µ §.
Créer la liste1 en rentrant dans la ligne de saisie
« Séquence[(AléaUniforme[0,2],AléaUniforme[0,0.25]),k,1,n,1] ».
À l’aide de la commande « NbSi[y(M)·
Quelle valeur obtient-on pour µ § ?
Partie 2 : estimation de µ § par la méthode des trapèzes
La méthode consiste à diviser l’intervalle µ § en µ § intervalles de longueur µ §, où µ § N* On approche l’aire du domaine µ § délimité par µ §, l’axe des abscisses et les droites d’équations respectives µ §et µ § par la somme des aires des µ § polygones µ §, où les points ont pour coordonnées µ § et µ §, pour µ § entier naturel allant deµ § à µ §.
1) a. Écrire un algorithme en langage courant prenant en entrée la valeur µ § et qui renvoie la somme des aires de ces µ § polygones.
b. Tester cet algorithme pour µ §, puis pour µ § et donner les valeurs obtenues.
2) Déduire des résultats obtenus précédemment une approximation de µ § .
Partie 3 : aspect théorique et valeur exacte de µ §
1) Calculer la dérivée de la fonction µ § définie sur µ § par µ § , où µ § et µ § sont deux paramètres réels.
2) En déduire une primitive de la fonction µ § sur µ § puis vérifier que µ §est bien une fonction densité.
3) En déduire la valeur exacte de µ § . Comparer avec les résultats obtenus précédemment.
4) À l’aide d’un logiciel de calcul formel, déterminer une primitive µ § de la fonction µ § définie sur µ § par µ §.
5) L’espérance de µ §est définie par µ §. Calculer µ § et interpréter ce résultat.
Analyse didactique
On observe que la qualité de l’approximation obtenue par la méthode de Monte Carlo n’est pas très bonne, même avec un nombre important de points (µ §
L’approximation obtenue par la méthode des trapèzes semble de « meilleure qualité ». C’est surtout pour des intégrales multiples (distributions multivariées) que la méthode de Monte Carlo présente de l’intérêt par rapport aux méthodes de « découpage ». C’est effectivement ce que l’on peut justifier par des moyens théoriques dépassant le cadre des programmes de terminale S, pour des fonctions qui n'oscillent pas trop.
Cet exercice est en fait un complément de cours, à vocation culturelle, qu'il convient de discuter avec la classe en version dialoguée pour développer les compétences de recherche collective et de communication orale.
Fonction exponentielle et calcul intégral
D’après une proposition de l’académie de Corse
Version évaluation avec prise d’initiative
Soit µ § un réel strictement positif et µ § un réel strictement négatif.On note :
µ § la courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère orthonormé µ §;
µ § le domaine sous la courbeµ § pour µ § entre µ § et µ § ;
µ § le domaine sous la courbe µ § pour µ § entre µ § et µ §.
L’objet de l’exercice est d’étudier les couples µ § tels que les aires des domaines µ § et µ § soient égales.
1)
On suppose que le couple µ § est une solution. Montrer que µ §.
En utilisant le fait que µ §, déduire de la relation précédente qu’une condition nécessaire pour que le problème ait une solution est que : µ §.
La condition obtenue en µ §. est-elle suffisante pour que le problème ait une solution ?
2) Étude de trois cas particuliers
Par des considérations graphiques, prouver qu’il n’existe pas de solution µ §telle que µ §.
En écrivant µ §, factoriser ce polynôme et en déduire ses racines dans R.
Existe-t-il des couples µ § solutions tels que µ § ?
Existe-t-il des couples µ § solutions tels que µ § ?
Analyse didactique
Compétences mises en jeu dans cet exercice.
1) a.1) b.1) c.2) a.2) b.2) c.2) d.ChercherXXReprésenterXCalculerXXXXRaisonnerXXCommuniquerXXLa prise d’initiative se situe à la question 1)c où il s’agit de mettre en place un raisonnement en traduisant ce que l’on cherche.
Version formation
Cette version, à proposer en classe, éventuellement en travail de groupes, limite les indications, laissant une part d’autonomie accrue aux élèves. Elle se termine par un prolongement reprenant l’étude avec une autre fonction nécessitant pour répondre à la question de faire appel au théorème des valeurs intermédiaires, car l'explicitation algébrique échoue.
Soit µ §un réel strictement positif et µ § un réel strictement négatif. On note :
µ §la courbe représentative de la fonction exponentielle dans un repère orthonormé µ §.
µ § le domaine sous la courbeµ § pour µ § entre µ § et µ § ;
µ § le domaine sous la courbe µ § pour µ § entre µ § et µ §.
L’objet de l’exercice est d’étudier les couples µ § tels que les aires des domaines µ § et µ § soient égales.
1)
On suppose que le couple µ § est une solution. Déterminer une relation entre µ § et µ §.
En utilisant le fait que µ §, déduire de la relation précédente une condition nécessaire sur µ § pour que le problème ait une solution.
La condition obtenue en b. est-elle suffisante ?
2) Étude de trois cas particuliers
Prouver qu’il n’existe pas de solution µ § telle que µ §
En écrivant µ §, factoriser ce polynôme et en déduire ses racines dans R.
Existe-t-il des couples µ § solutions tels que µ § ?
Existe-t-il des couples µ § solutions tels que µ § ?
3) Prolongement
On étudie ici la même situation avec la fonction µ § définie pour tout µ § réel par : µ §.
Le réel µ § négatif étant fixé, existe-t-il toujours un réel µ § positif tel que les domaines µ § et µ § aient des aires égales ?
Analyse didactique
Le changement de registre et la compétence Représenter sont les éléments majeurs de ce type d'exercices. On remarquera que l’explicitation d’une solution n’étant pas possible dans le dernier cas, la réponse nécessite l’utilisation du théorème des valeurs intermédiaires. Là encore le registre adéquat (langagier, mathématique) pour expliciter une solution attendue est une compétence importante pour les élèves scientifiques (compétence communiquer).
Exercice pour la filière STI2D
Modélisation vitesse du vent pour éolienne
D’après une proposition de l’académie de Dijon
Deux documents sont fournis en annexe page 58 qui explicitent la situation et la rattachent à une problématique et des observations réelles.
Version évaluation avec prise d’initiative
Un site a été choisi pour y implanter un parc d’éoliennes. Le but de ce problème est de modéliser la vitesse du vent sur ce site à partir de relevés statistiques (partie A) puis d’étudier le modèle (partie B). Une étude menée pendant cinq ans a permis de relever chaque jour la vitesse moyenne du vent. Les fréquences observées par tranches de vitesses d’amplitude 0,5 ms-1 sont récapitulées graphiquement dans l’histogramme ci-après.
On modélise la vitesse moyenne du vent un jour donné par une variable aléatoire µ § admettant une densité.
Question préliminaire
D’après les histogrammes de fréquences précédents, est-il envisageable que la loi de cette variable aléatoire soit une loi exponentielle ou une loi normale ?
Afin de modéliser la distribution de ces fréquences, et d’approcher au mieux les bords supérieurs des rectangles, on considère une fonction µ § définie sur µ § par :
µ §
où µ § est une constante réelle à déterminer.
La fonction µ § a été représentée ci-dessus par une courbe µ §(en pointillé) dans un repère superposé à l’histogramme. Cette courbe µ § passe par l’origine µ § du repère et par le point µ § d’abscisse 5. Par ailleurs, la fonction µ § admet un maximum pour µ §.
Partie A
À l’aide des informations fournies précédemment, donner la valeur de µ §.
Vérifier que µ §En déduire la valeur de µ §.
Déterminer les variations de la fonction µ §. Sont-elles conformes au graphique donné ?
Donner une valeur approchée à 0,001 près du maximum de la fonction µ §.
Partie B
Les caractéristiques techniques des éoliennes sont telles que chacune d’elles ne peut fonctionner avec des vitesses de vent inférieures à 2 ms-1, ni avec des vitesses de vent supérieures à 14 ms-1. On admet qu’à un instant donné, sur le site considéré, la probabilité d’obtenir une vitesse µ § de vent comprises entre deux valeurs µ § et µ §, exprimées en ms-1, peut être estimée par la formule :
µ §
Quelle est, arrondie au millième, la probabilité de fonctionnement de cette éolienne à un instant donné ?
On admet que la puissance moyenne, restituée par cette éolienne peut être estimée, en watts, par la formule suivante :
µ §
avec, pour k compris entre 3 et 13 : µ §.
Compléter les lignes 4 et 5 de l’algorithme suivant, de façon à ce que la valeur de P soit affichée en sortie.
1Variablesk et P sont des nombres2Initialisation Affecter la valeur 3 à k3Affecter la valeur 44,64 à P4Traitement Tant que k ¡Ü¡K¡K¡K¡K¡K..5P prend la valeur ¡K¡K¡K¡K¡K6k prend la valeur k + 17Fin tant que8Sortie Afficher P
Recopier l’algorithme complété sur la copie.
Analyse didactique
Compétences mises en jeu dans cet exercice.
Qn PrélimA1A2A3A4B1B2ChercherModéliserXReprésenterXCalculerXXXXRaisonnerXCommuniquerXXLa prise d'initiative se situe dans la partie B. L'énoncé ne donne pas la primitive de la fonction f, car c'est une capacité attendue au programme.
Version formation
Vitesse du vent sur un site d’implantation d’un parc d’éoliennes
Un site a été choisi pour y implanter un parc d’éoliennes. Afin de se prononcer sur la pertinence de ce choix, on se propose d’étudier la vitesse du vent sur ce site, à partir de relevés statistiques.
Une étude statistique menée pendant cinq ans a permis de relever chaque jour la vitesse moyenne du vent. Les fréquences observées par tranches de vitesses d’amplitude 3 ms-1 sont récapitulées dans le tableau suivant :
Vitesse moyenne du vent (en m.s-1)[0 ; 3[[3 ; 6[[6 ; 9[[9 ; 12[[12 ; 15[[15 ; 18[[18 ; 21[[21 ; 24[Fréquence0,158140,350360,285800,146280,044920,01190,002560,00004
À l’aide d’un tableur, représenter l’histogramme de cette série.
En récupérant l’ensemble des relevés et en les regroupant par tranches de vitesse d’amplitude 0,5 ms-1, l’histogramme obtenu est le suivant (en abscisses : la vitesse moyenne du vent) :
Cet histogramme est-il cohérent avec celui obtenu à la question a. ?
2) On modélise la vitesse moyenne du vent un jour donné par une variable aléatoire µ § admettant une densité.
D’après les histogrammes de fréquences précédents, est-il envisageable que la loi de cette variable aléatoire soit une loi exponentielle ? une loi normale ?
3) L’allure des histogrammes de fréquences conduit à modéliser la densité de la variable aléatoire µ § par une fonction µ §, nulle sur µ §, et vérifiant pour tout µ § : µ §où µ § est une constante réelle à déterminer.
Déterminer la valeur de µ § en utilisant, au choix, l’une des deux méthodes décrites ci-après.
Méthode 1 : par tâtonnement à l’aide d’un grapheur
En faisant varier le paramètre µ §, on cherche à ajuster au mieux la courbe de la fonction µ § à l’un des histogrammes de la question 1), comme l’évoquent les schémas ci-après.
On pourra utiliser l’un des fichiers fournis stat_gisement_eolien.xlsx ou stat_gisement_eolien.ggb, avec l’utilisation telle qu’elle est décrite dans l’annexe 1.
Méthode 2: en exploitant la dérivée de la fonction µ §
On calcule aisément la dérivée de la fonction µ § et on détermine graphiquement la vitesse µ § du vent qui semble apparaître avec la plus grande fréquence, puis on exploite la valeur de µ §
4) Les caractéristiques techniques de cette éolienne sont telles que celle-ci ne peut fonctionner avec des vitesses de vent inférieures à 2 ms-1, ni avec des vitesses de vent supérieures à 14 ms-1.On admet qu’à un instant donné, sur le site considéré, la probabilité d’obtenir une vitesse µ §de vent comprise entre deux valeurs µ § et µ §, exprimées en ms-1, peut être estimée par la formule :
µ §
Quelle est, arrondie au millième, la probabilité de fonctionnement de cette éolienne à un instant donné ?
5) En fonctionnement, la puissance restituée, en watts, par cette éolienne pour une vitesse de vent µ §, exprimée en ms-1, est donnée par la formule :
µ §.
Quelle est la puissance maximale restituée par cette éolienne ?
Pour estimer la puissance moyenne (en watts) espérée restituée par cette éolienne, on utilise la formule suivante :
µ §.
6) Écrire en langage naturel un algorithme permettant de calculer la puissance moyenne espérée de cette éolienne.
Programmer cet algorithme sur calculatrice ou sur ordinateur et donner une estimation de cette puissance.
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