Exercices pour la série STL Biotechnologies
STL-Biotechnologies Antilles-Guyane, exercice 2
Énoncé originel
Les autorités de santé d’une grande ville s’intéressent aux enfants et aux jeunes adultes atteints d’asthme. En 2011, on a recensé environ 850 nouveaux cas. À partir de 2011, le nombre de nouveaux cas déclarés augmente d’environ 2,5 % par an. On désire modéliser la situation par une suite µ § de premier terme µ §. Ainsi, µ § modélise le nombre de nouveaux cas en l’année µ §.
Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l’unité.
1) Calculer le nombre de nouveaux cas en 2012 et en 2013.
Justifier que la suite µ § est une suite géométrique dont on donnera la raison.
Exprimer µ § en fonction de µ §.
En déduire le nombre de nouveaux cas en 2020.
3) Déterminer à partir de quelle année on dépassera les 1 400 nouveaux cas.
4) On propose l’algorithme suivant :
Variables : U, S, N
Initialisation :
Affecter à U la valeur 850
Affecter à S la valeur U
Affecter à N la valeur 0
Traitement :
Tant que S < 6 000
Affecter à U la valeur U × 1,025
Affecter à S la valeur S + U
Affecter à N la valeur N + 1
Fin tant que
Sortie :
Afficher N
Que représente µ § dans cet algorithme ?
Déterminer la valeur finale obtenue pour µ § avec cet algorithme.
Les autorités sanitaires de la ville ont décidé que le seuil d’alerte est atteint pour 6 000 nouveaux cas déclarés depuis 2011. En supposant que le nombre de nouveaux cas évolue de la même manière, déterminer l’année à partir de laquelle cela se produira.
Analyse didactique
Les compétences mises en jeu dans ce sujet sont les suivantes :
12a2b2c34a4b4cChercherXModéliserXXXReprésenterXCalculerXXXXRaisonnerXCommuniquerXXUne remarque sur la modélisation : il faut ici prêter attention à ce que désigne µ § : on ne dit pas que µ § est le nombre de nouveaux cas d’asthme mais qu’il modélise le nombre de nouveaux cas, ce qui est différent. En effet, le nombre de nouveaux cas est, par nature, un nombre entier alors que µ §, de par sa définition, n’est plus un entier dès que µ § vaut µ § (ou plus). L’exercice est donc, avant tout, centré sur l’idée de la modélisation d’une situation réelle à l’aide d’un modèle mathématique. Par ailleurs l'arrondi à l'unité ne veut pas dire que l'on prend la partie entière de µ § pour calculer µ §; cela veut dire que qu'à la question 2c on indique un résultat arrondi à l'entier.
La prise d’initiative se concrétise d’abord sur la question 3 avec le choix entre deux manières très différentes : soit au moyen des logarithmes, soit en calculant µ § de proche en proche.
Pour répondre complètement, il faut aussi donner un sens précis à la question « à partir de quelle année ¡K ? ».
La question 4b nécessite également une certaine prise d’initiative puisqu’il faut soit faire « tourner » l’algorithme « à la main », soit programmer l’algorithme dans la calculatrice, soit employer le mode « suite » ou « séquence » de la calculatrice.
La variante ci-dessous propose une approche différente de la « prise d’initiative » : en partie B avec un usage « en autonomie » du tableur, et en partie C avec une mise en discussion de la valeur du « paramètre » formé par le taux d’augmentation. Cet énoncé peut avantageusement être divisé en une partie étudiable à la maison et une autre partie en classe.
Variante proposée pour la formation des élèves
Note liminaire : cet énoncé est également utilisable pour les séries ES-L.
Les autorités de santé d’une grande ville s’intéressent aux enfants et aux jeunes adultes atteints d’asthme (maladie respiratoire de nature allergique). Début 2011, on a recensé environ 850 nouveaux cas (non déclarés en 2010). À l’issue d’une enquête épidémiologique, on considère que le nombre de nouveaux cas déclarés augmente d’environ de 0,9 % par an à partir de 2011.
On modélise la situation par une suite µ § de premier terme µ §. Ainsi, µ § modélise le nombre de nouveaux cas en l’année µ §.
Dans cet exercice, les résultats seront tous arrondis à l’unité.
Partie A : étude directe
1) Donner une estimation du nombre de nouveaux cas apparaissant en 2012 et en 2013.
Justifier que µ § est une suite géométrique dont on donnera la raison.
Exprimer µ § en fonction de µ §.
En s’appuyant sur la modélisation précédente, indiquer combien de nouveaux cas seraient recensés en 2020.
Partie B : un peu de prospective
Le tableur permet de faire une étude commode de la modélisation précédente. Préparer, avec le tableur, une feuille ayant l’allure suivante :
ABCD1nannéeUtaux2020118500,90%312012858422013532014873Le taux d’augmentation annuelle des nouveaux cas déclarés figure dans la cellule D2.
Quelle formule peut-on entrer dans la cellule C3, permettant d’afficher la valeur modélisant le nombre de nouveaux cas recensés en 2012 ?
On recopie la formule précédente vers le bas pour inscrire dans la colonne C les valeurs approchées des termes de la suite µ §. À l’aide de la feuille de calcul ainsi remplie, indiquer à partir de quelle année on dépassera les 1000 nouveaux cas recensés.
Partie C : prise de décision
Les autorités sanitaires de la ville ont décidé que le seuil d’alerte sera franchi lorsque le nombre total de nouveaux cas déclarés depuis 2011 dépassera les 10 000. On s’appuie toujours sur la modélisation précédente, ce qui conduit à proposer l’algorithme suivant :
Variables : U, S, N
Initialisation :
Affecter à U la valeur 850
Affecter à S la valeur U
Affecter à N la valeur 0
Traitement :
Tant que S ¡K¡K¡K
Affecter à U la valeur U × 1,009
Affecter à S la valeur S + U
Affecter à N la valeur N + 1
Fin tant que
Sortie :
Afficher ¡K¡K¡K
1) Compléter cet algorithme pour qu’il affiche l’année où le seuil d’alerte sera franchi.
2) En utilisant l’une quelconque des deux méthodes proposées dans cet exercice (tableur ou programmation d’algorithme), étudier l’influence du taux d’augmentation annuel du nombre de nouveaux cas d’asthme (0,9 % dans ce qui précède) sur l’année où le seuil d’alerte sera franchi. On pourra par exemple répondre avec un graphique basé sur des valeurs du taux comme 0,8% ; 0,9% ; 1% ; 1,1% etc.
STL-Biotechnologies Polynésie, exercice 4
Énoncé originel
Partie A
Une population de bactéries a la propriété de doubler toutes les heures dans des conditions particulières. On suppose que cette capacité de doublement ne dépend pas du nombre initial de bactéries.
Lors d’une expérience, Camille décide
d’ajouter, chaque heure, un millier de
bactéries du même type.
Elle écrit l’algorithme ci-contre.Saisir NH prend la valeur 0 V prend la valeur NTant que V < 105 H prend la valeur H + 1 V prend la valeur 2 V + 1000 Fin Tant que Afficher H
1) Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour µ § ?
2) On note µ § le nombre de bactéries à la µ §-ième heure, µ § étant un entier naturel. On admet que µ §.
a. Exprimer µ § en fonction de µ §.
b. La suite µ § est-elle géométrique ? Justifier la réponse.
Partie B
Camille recommence l’expérience avec 10 000 bactéries, dans des conditions différentes et sans ajouter de bactéries à chaque heure. Elle constate que :
tant que le nombre de bactéries est strictement inférieur à 40 000, le nombre double toutes les heures ;
à partir de 40 000 bactéries, le nombre augmente seulement de 50 % toutes les heures.
Modifier l’algorithme précédent pour prendre en compte ces nouvelles conditions.
Dans ces conditions, au bout de combien d’heures, le nombre de bactéries dépassera-t-il la valeur de µ § ?
Analyse didactique
Les compétences mises en jeu dans ce sujet sont les suivantes :
A1A2aA2bB1B2ChercherXXModéliserXReprésenterXCalculerXXRaisonnerXXCommuniquerXLa prise d’initiative se concrétise dans la question B1, dans la mesure où l’énoncé ne donne aucun cadre préétabli pour l’algorithme modifié, laissant à l’élève la responsabilité de redéfinir les entrées, la sortie et la structure itérative (y compris la deuxième boucle).
La variante proposée ci-dessous explore différentes thématiques associées aux suites récurrentes, sans nécessiter davantage de connaissances, mais en mettant davantage en valeur la compétence « calculer ». Elle peut être abordée comme un ensemble de trois exercices indépendants liés par une problématique commune.
Variante proposée pour la formation des élèves
Note liminaire : cet énoncé est également utilisable pour les séries ES-L.
Partie A
Une population de bactéries a la propriété de doubler toutes les heures dans des conditions particulières. On suppose que cette capacité de doublement ne dépend pas du nombre initial de bactéries.
Lors d’une expérience, Camille décide
d’ajouter, chaque heure, un millier
de bactéries du même type.
Elle écrit l’algorithme ci-contre.Saisir NH prend la valeur 0 V prend la valeur NTant que V < 105 H prend la valeur H + 1 V prend la valeur 2 V + 1000 Fin Tant que Afficher H1) Quelle est la valeur affichée par l’algorithme pour µ § ?
2) On note µ § le nombre de bactéries à la µ §-ième heure, µ § étant un entier naturel. On admet que µ §.
a. Exprimer µ § en fonction de µ § .
b. La suite µ § est-elle géométrique ? Justifier la réponse.
c. On introduit une seconde suite µ §, définie par µ §, où µ § est une constante. Comment peut-on choisir µ § pour faire en sorte que la suite µ § soit géométrique ?
d. En déduire une expression de µ § en fonction de µ §.
Partie B
Camille recommence l’expérience dans des conditions différentes en la débutant avec 10 000 bactéries et sans ajouter de bactéries à chaque heure. Elle constate que :
tant que le nombre de bactéries est strictement inférieur à 40 000, le nombre double toutes les heures ;
à partir de 40 000 bactéries, le nombre augmente seulement de 50 % toutes les heures.
1) Modifier l’algorithme précédent pour prendre en compte ces nouvelles conditions.
2) Transcrire cet algorithme, soit avec un logiciel de programmation (ou une calculatrice), soit avec un tableur.
Partie C
Camille reprend l’expérience avec un milieu appauvri en substances nutritives, et constate que l’augmentation du nombre de bactéries est de moins en moins forte au fil des heures. Elle modifie donc la modélisation, introduisant une suite µ § définie par :
µ §
Créer une feuille de calcul appropriée à cette suite au moyen du tableur. Qu’observe-t-on ?
On forme l’expression µ § . Exprimer µ § en fonction de µ §.
Que peut-on dire du signe de µ § ?
Interpréter le signe de µ § par rapport à la modélisation.
La suite µ § est-elle croissante ? Peut-on conjecturer la valeur de sa limite ? Conclure.
Exercices pour la série STMG
STMG Inde-Pondichéry, exercice 3
Énoncé originel
On s’intéresse à la trajectoire d’un ballon de basket-ball lancé par un joueur faisant face au panneau. Cette trajectoire est modélisée dans le repère ci-contre (joint en annexe dans l’énoncé originel). Dans ce repère, l’axe des abscisses correspond à la droite passant par les pieds du joueur et la base du panneau, l’unité sur les deux axes est le mètre.
On suppose que la position initiale du ballon se trouve au point µ § et que la position du panier se trouve au point µ §. La trajectoire du ballon est assimilée à la courbe µ § représentant une fonction µ §. Les coordonnées du ballon sont donc µ §.
1. Étude graphique
En exploitant la figure de l’annexe à rendre avec la copie, répondre aux questions suivantes :
a. Quelle est la hauteur du ballon lorsque µ § ?
b. Le ballon atteint-il la hauteur de 5,5 m ?
2. Étude de la fonction µ §
La fonction µ § est définie sur l’intervalle µ § par µ §.
a. Calculer µ §, où µ § désigne la dérivée de la fonction µ §.
b. Étudier le signe de µ § et en déduire le tableau de variations de µ § sur l’intervalle µ §.
c. Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon lors de ce lancer ?
3. Modification du lancer
En réalité, le panneau, représenté par le segment µ § dans la figure de l’annexe, se trouve à une distance de 5,3 m du joueur. Le point µ §est à une hauteur de 2,9 m et le point µ § est à une hauteur de 3,5 m.
Le joueur décide de modifier son lancer pour tenter de faire rebondir le ballon sur le panneau. Il effectue alors deux lancers successifs.
Dans le premier lancer, la trajectoire du ballon est modélisée par la fonction µ § définie sur l’intervalle µ §par µ §.
Dans le second lancer, la trajectoire du ballon est modélisée par la fonction µ § définie sur l’intervalle µ § par µ §.
Pour chacun de ces deux lancers, déterminer si le ballon rebondit ou non sur le panneau.
Analyse didactique
Les compétences essentiellement mises en jeu dans ce sujet sont les suivantes :
1a1b2a2b2c3ChercherXModéliserXXReprésenterXXXCalculerXXXX
La prise d’initiative se concrétise dans la troisième question ; en effet, l’élève peut envisager de tracer sur le graphique précédent les courbes représentatives des fonctions µ § et µ §, apercevant d’un coup d’œil que la courbe représentative de µ § va passer « en-dessous » du panneau, tandis que celle de µ § va le « croiser ».
Une approche alternative consiste à algébriser le problème, le ramenant à des inégalités
µ §et µ §. Il ne reste plus qu’à calculer les valeurs de µ § et de µ § en µ § (le maniement des intervalles est formalisé dès le programme de Seconde, voir la partie « raisonnement et notations mathématiques »).
Il peut être intéressant d’organiser une confrontation des deux approches sous forme de débat au sein de la classe.
Les adaptations proposées ci-dessous ont pour but de rapprocher l’énoncé des leçons relatives aux fonctions polynomiales du second degré et à la dérivation, tout en valorisant l’emploi par l’élève d’un logiciel de tracé de courbes ou de géométrie dynamique. Une série d’allers-retours entre le travail en classe et le travail à la maison présenterait l’intérêt de faire ressortir la différence de nature entre la « prise d’initiative » dans ces deux contextes.
Variante de l’énoncé, à utiliser en formation
Remarque : cet exercice peut également être employé en séries ES, L, S et STI2D.
Partie A
On s’intéresse à la trajectoire d’un ballon de basket-ball lancé par un joueur faisant face au panneau. Cette trajectoire est modélisée par une courbe apparaissant sur le graphique fourni en annexe, où l’axe des abscisses correspond à la droite passant par les pieds du joueur et la base du panneau, l’unité sur les deux axes étant le mètre. On suppose que la position initiale du ballon se trouve au point µ § et que la position du panier se trouve au point µ § La trajectoire du ballon est ainsi modélisée par la courbe µ § représentant une certaine fonction µ §, et les coordonnées du ballon sont µ §.
1. Étude graphique
On cherche à préciser quelques éléments de la trajectoire du ballon. Les questions suivantes peuvent être traitées en s’appuyant sur le graphique (de l’annexe), ou bien en exploitant des fonctions polynômes de degré 2.
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