On pourrait reprendre cet exercice en se rapprochant de ce qui est utilisé dans le monde réel :
Tout d’abord, c’est en général un facteur µ § qui est utilisé comme affaiblissement maximal du signal avant amplification (de 7 mW à 0,07 mW et non 0,08 mW).
D’autre part, les coefficients d’atténuation sont plus souvent exprimés en décibels :
µ §
On a alors
µ §
ou encore µ §Le facteur µ § est donc atteint lorsque µ §.
STI2D - Métropole-La Réunion, exercice 3 - Énoncé originel
Le parc de véhicules particuliers (VP) et de véhicules utilitaires légers (VUL) circulant en France est essentiellement constitué de véhicules thermiques (principalement essence, gasoil et GPL). Pour lutter contre la pollution, il intègre de plus en plus de véhicules à « faible émission de CO2 » c’est-à-dire des véhicules hybrides (véhicules thermiques assistés d’un moteur électrique) et des véhicules électriques.
Document 1 : Ventes et prévisions
Au regard du parc et des ventes de véhicules en 2010, l’ADEME (Agence de l’Environnement et de la Maîtrise de l’Énergie) a mobilisé ses services techniques et économiques en 2012, afin d’élaborer des visions énergétiques. Afin de répondre aux enjeux environnementaux, l’ADEME prévoit d’atteindre pour le parc 2030 un taux moyen d’émission de CO2 par véhicule de 100 g/km.
Véhicules (VP-VUL)Ventes 2010Parc 2010Prévisions ventes 2030Prévisions
parc 2030Véhicules thermiques100 %100 %64 %89 %Véhicules hybrides0 %0 %24 %7 %Véhicules électriques0 %0 %12 %4 %Total des voitures VP et VUL2,2 millions35 millions2 millions35 millionsÉmission moyenne de CO2 par véhicule127 g/km165 g/km49 g/km100 g/kmDocument 2 : Ventes nationales de véhicules entre 2011 et 2013
Véhicules (VP-VUL)Ventes 2011Ventes 2012Ventes 2013Véhicules hybrides13 60027 73041 340Véhicules électriques 4313931413 954Total des ventes y compris véhicules thermiques2 204 0651 898 8721 790 000
Partie A
Selon les prévisions de l’ADEME, quel serait en 2030 le nombre de véhicules hybrides vendus ?
Selon les prévisions de l’ADEME, quel serait en 2030 le pourcentage de véhicules à faible émission de CO2 dans le parc automobile ?
Partie B
Le tableau suivant est incomplet. Déterminer le pourcentage d’augmentation des ventes de véhicules hybrides de 2012 à 2013.
Véhicules VP et VUL Augmentation des ventes de véhiculesde 2011 à 2012de 2012 à 2013Véhicules hybrides 103,9%...Véhicules électriques 116 %49,8%Après un fort démarrage des ventes de véhicules hybrides, les professionnels de l’automobile envisagent une augmentation de leurs ventes de 16 % par an de 2013 à 2030. Le nombre de véhicules hybrides vendus en 2013 est de 41 340. On décide de modéliser les ventes annuelles de véhicules hybrides par une suite géométrique µ § de raison µ §, où µ § fournit une estimation du nombre de véhicules hybrides vendus durant l’année µ §.
Donner µ §.
Exprimer µ § en fonction de µ §.
L’augmentation de 16 % par an des ventes de véhicules hybrides permettrait-elle d’atteindre la prévision de l’ADEME pour l’année 2030 ?
Les professionnels de l’automobile s’intéressent aussi aux ventes de véhicules électriques de 2013 à 2030. Le nombre de véhicules électriques vendus en 2013 est de 13 954.
On réalise sur tableur une feuille de calcul qui détermine le nombre de véhicules électriques vendus de 2013 à 2030 en supposant une augmentation annuelle de 16 % à partir de 2013.
Donner la formule saisie dans la cellule B3 de la feuille de calcul ci-dessus pour compléter le tableau par « recopie vers le bas ».
Ce taux d’augmentation annuel permettrait-il d’atteindre les prévisions de l’ADEME des ventes de véhicules électriques en 2030 ?
Les professionnels de l’automobile cherchent un pourcentage d’augmentation annuelle des ventes de véhicules électriques qui permettrait d’atteindre les prévisions de l’ADEME en 2030.
On considère l’algorithme suivant :
Variables
u : un nombre réel
q : un nombre réel
Initialisation
Affecter à u la valeur 173 974
Affecter à q la valeur 1,16
Traitement
Tant que u ¡Ü 240 000
q prend la valeur q + 0, 01
u prend la valeur 13 954 ×q 17
Fin Tant que
Sortie
Afficher (q | 1) × 100
Que représente la valeur 173 974 prise par la variable µ § dans l’initialisation de l’algorithme ?
Faire fonctionner cet algorithme. Pour cela reproduire et compléter le tableau ci- dessous. Des lignes supplémentaires pourront être ajoutées.
Étapes de l’algorithmeVariablesquInitialisation1,16173 974Étape 1¡K¡KÉtape 2¡K¡K¡K¡K¡K
Quelle est la valeur affichée par l’algorithme ? Interpréter le résultat.
Analyse didactique
Les compétences essentiellement mises en jeu dans ce sujet sont les suivantes :
A1A2B1B2aB2bB2cB3aB3bB4aB4bB4cChercherXXXXXXModéliserXReprésenterXCalculerXXRaisonnerXXCommuniquerXXXXCet exercice demande une certaine autonomie aux candidats, notamment dans les questions B2c et B4c, sans toutefois que l’on puisse aller jusqu’à parler de prise d’initiative. Le calibrage du problème pose cependant question : il y a plusieurs vérifications de la même compétence (calculer avec des pourcentages), et la modélisation de la question B est plutôt optimiste, voire irréaliste !
La question B4 pose un problème didactique avec l'usage d'un algorithme assez artificiel (on imagine mal un élève parvenant à écrire lui-même cet algorithme). Pour laisser davantage d’initiative, on peut envisager de modifier la question 4, voire de regrouper les questions 3 et 4 en une seule et demander quel taux d’augmentation annuel entre 2013 et 2030 permettrait d’atteindre les prévisions de l’ADEME.
En formation, on peut avoir recours à une feuille de calcul pour tester diverses valeurs de q, ou à un algorithme ou à la résolution de l’inéquation µ §dans la mesure où les exponentielles de base quelconque sont au programme de la série.
STI2D - Antilles-Guyane, exercice 5- Énoncé originel
On étudie la charge d’un condensateur et l’on dispose pour cela du circuit électrique ci-contre composé de :
une source de tension continue µ § de µ §V ;
une résistance µ § de µ §Ù ;
un condensateur de capacité µ § de µ §F.
On note µ § la tension exprimée en volt aux bornes du condensateur. Cette tension µ § est une fonction du temps µ § exprimé en seconde.
La fonction µ § est définie et dérivable sur µ § ; elle vérifie l’équation différentielle suivante :
µ §
oùµ § est la fonction dérivée de µ §.
1) Justifier que l’équation différentielle est équivalente à :
µ §
2)
a. Déterminer la forme générale µ § des solutions de cette équation différentielle.
b. On considère qu’à l’instant µ §, le condensateur est déchargé. Parmi les solutions, déterminer l’unique fonction µ § telle que µ §.
c. Déterminer en justifiant la réponse, la limite en µ § de la fonction µ § ainsi obtenue. En donner une interprétation.
3) On donne ci-contre la représentation graphique de la fonction µ § qui vient d’être obtenue à la question 2.b. avec les unités suivantes : 1 unité pour 1 seconde sur l’axe des abscisses et 1 unité pour 1 volt sur l’axe des ordonnées.
On appelle µ § le temps de charge en seconde pour que µ § soit égal à 95 % de µ §.
a. Déterminer graphiquement le temps de charge µ §.
b. Retrouver, par le calcul, le résultat précédent.
4) Sans modifier les valeurs respectives de µ § et de µ §, déterminer la valeur de µ § afin que le temps de charge µ § soit multiplié par 2.
Analyse didactique
Les compétences essentiellement mises en jeu dans ce sujet sont les suivantes.
12a2b2c3a3b4ChercherXXXModéliserXReprésenterXCalculerXXXXRaisonnerXCommuniquerXLa toute dernière question demande une vraie prise d’initiative, mais elle est difficile et risque de n’être que peu abordée. L’énoncé pourrait être modifié comme suit.
Variante proposée pour la formation des élèves
On étudie la charge d’un condensateur et l’on dispose pour cela du circuit électrique ci-contre composé de :
une source de tension continue µ § exprimée en volt (symbole V) ;
une résistance µ § exprimée en ohm (symbole Ù) ;
un condensateur de capacité µ § exprimée en farad (symbole F).
On note µ § la tension exprimée en volts aux bornes du condensateur. Cette tension µ § est une fonction du temps µ §, exprimé en seconde.
La fonction µ §est définie et dérivable sur µ § ; elle est solution de l’équation différentielle µ §suivante :
µ §
oùµ § est la fonction dérivée de µ §.
PARTIE A
Dans cette partie, on prend µ §, µ § et µ §.
1) Justifier que l’équation différentielle est équivalente à :
µ §
2)
a. Déterminer la forme générale µ § des solutions de cette équation différentielle.
b. On considère qu’à l’instant µ §, le condensateur est déchargé. Parmi les solutions, déterminer l’unique fonction µ § tel que µ §.
c. Déterminer en justifiant la réponse, la limite en µ § de la fonction µ § ainsi obtenue. En donner une interprétation.
3) On donne ci-contre la représentation graphique de la fonction µ § qui vient d’être obtenue à la question 2.b. avec les unités suivantes : 1 unité pour 1 seconde sur l’axe des abscisses et 1 unité pour 1 volt sur l’axe des ordonnées.
On définit le temps de charge µ §comme étant le temps exprimé en secondes nécessaire pour que la tension µ § soit égale à 95 % de µ §.
a. Déterminer graphiquement le temps de charge .
b. Retrouver par le calcul le résultat précédent.
PARTIE B
On revient maintenant au cas général et on pose µ §. La constante µ § est la constante de temps du circuit et est exprimée en secondes. Le temps de charge est toujours défini comme à la question A.3.
On suppose toujours qu’à l’instant µ § le condensateur est complètement déchargé. On admet que, compte tenu de cette condition initiale, la solution µ § de l’équation différentielle µ § est définie par :
µ §1) Justifier l’affirmation « le temps de charge vaut trois constantes de temps ».
2) Combien faut-il de constantes de temps pour que la tension aux bornes du condensateur atteigne 99% de µ § ?
3) On suppose que les valeurs µ § et µ § sont fixes et que µ § est variable. Comment faut-il modifier µ § pour que le temps de charge soit doublé ?
STI2D - Métropole 2015 (session de remplacement), exercice 4 - Enoncé originel
Un sismologue déclare en janvier 2014 : « Le risque d’un séisme majeur le long de la faille de San Andreas, en Californie, dans les vingt prochaines années est supérieur à 70 % ». On s’intéresse au temps, exprimé en années, écoulé entre deux séismes majeurs le long de cette faille en Californie. On admet que ce temps est une variable aléatoire µ § qui suit une loi exponentielle de paramètre µ §.
Document 1
La faille de San Andreas, en Californie : séismes majeurs de magnitude supérieure ou égale à 5.
Ville AnnéeMagnitudeComté d’Orange 17696San Diego 18006,5San Francisco 18086Fort Tejon18578,3Monts Santa Cruz 18656,5Hayward 18686,9San Francisco 19068,2Santa Barbara 19256,3Santa Barbara 19277,3Long Beach 19336,3Comté de Kern19527,7San Francisco 19575,3San Fernando 19716,6LomaPrieta19897,1Parkfield20046,0Los Angeles 20085,5Mexicali 20107,2Napa 20146,0
Document 2 : rappels sur la loi exponentielle
Le nombre réel µ §est strictement positif. Une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre µ §si sa densité de probabilité est définie sur µ § par µ §. L’espérance d’une variable aléatoire µ § qui suit la loi exponentielle de paramètre µ § est µ §.
Pour illustrer la situation un élève utilise un tableur.
Proposer un titre pour la cellule A2 grisée.
Quelle formule a saisi l’élève dans la cellule C2 afin de compléter ce tableau jusqu’à la colonne S par « recopie automatique vers la droite » ?
Calculer en années la moyenne µ §, arrondie à µ § près, du temps écoulé entre deux séismes majeurs le long de la faille de San Andreas en Californie.
Justifier qu’une approximation du paramètre µ § de la loi exponentielle suivie par la variable aléatoire µ § est 0,0694.
Calculer µ § à µ § près.
L’affirmation du sismologue paraît-elle cohérente avec cette modélisation par une loi exponentielle ?
Le dernier séisme majeur a eu lieu en 2014 à Napa.
Calculer la probabilité qu’il n’y ait pas d’autres séismes majeurs le long de la faille de San Andreas, en Californie, avant 2050. On arrondira à µ § près.
a. Résoudre l’équation µ §.
b. Interpréter ce résultat.
Analyse didactique
Les compétences essentiellement mises en jeu dans ce sujet sont les suivantes :
12345678.a8.bChercherXXModéliserXXReprésenterXCalculerXXXXXRaisonnerXXXCommuniquerXSans être d’une grande difficulté, cet exercice laisse une bonne part à la prise d’initiative et mobilise l’ensemble des compétences attendues. Par ailleurs l'exercice, qui peut être donné en série S, est équilibré entre théorie et pratique. Il est évidemment inutile de connaitre la série des écarts pour obtenir la moyenne. En revanche l'étude pratique statistique peut, dans le cadre de la formation, ouvrir vers une discussion sur la fiabilité de la valeur du paramètre et l'adéquation du modèle.
La version suivante propose d'exploiter les données calculées. On pourrait remplacer la loi exponentielle par sa version discrétisée (mieux adaptée au contexte des données) que sont les lois géométriques.
Variante proposée pour la formation des élèves
Un sismologue déclare en janvier 2014 : « Le risque d’un séisme majeur le long de la faille de San Andreas, en Californie, dans les vingt prochaines années est supérieur à 70 % ». On s’intéresse au temps, exprimé en années, écoulé entre deux séismes majeurs le long de cette faille en Californie. On admet que ce temps est une variable aléatoire µ § qui suit une loi exponentielle de paramètre µ §.
Document 1
La faille de San Andreas, en Californie : séismes majeurs de magnitude supérieure ou égale à 5.
Ville AnnéeMagnitudeComté d’Orange 17696San Diego 18006,5San Francisco 18086Fort Tejon18578,3Monts Santa Cruz 18656,5Hayward 18686,9San Francisco 19068,2Santa Barbara 19256,3Santa Barbara 19277,3Long Beach 19336,3Comté de Kern19527,7San Francisco 19575,3San Fernando 19716,6LomaPrieta19897,1Parkfield20046,0Los Angeles 20085,5Mexicali 20107,2Napa 20146,0
Document 2 : rappels sur la loi exponentielle
Le nombre réel µ § est strictement positif. Une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre µ § si sa densité de probabilité est définie sur µ § par µ § . L’espérance d’une variable aléatoire µ § qui suit la loi exponentielle de paramètre µ § est µ § .
Pour illustrer la situation un élève utilise un tableur pour déterminer les 17 écarts entre deux tremblements de terre successifs donnés dans le document 1.
Tracer, avec un tableur, l'histogramme des fréquences en regroupant les données par classes de 5 ans.
Justifier qu’une approximation du paramètre µ § de la loi exponentielle suivie par la variable aléatoire µ § est µ §. Comment interpréter la formule µ § ?
Tracer l'histogramme de la loi exponentielle en considérant des classes de 5 ans.
La modélisation proposée parait-elle réaliste ? L’affirmation du sismologue parait-elle cohérente avec cette modélisation ?
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