Première Partie : Analyse d’exercices posés au baccalauréat à la session 2015
Exercices pour la série ES-L
ES-L Pondichéry, exercice 3
Énoncé originel
On s’intéresse à la fonction µ § définie sur R par µ §.
Partie A
Calculer µ § et en donner une valeur approchée à µ §près.
Justifier que µ § où µ §est la fonction dérivée de µ §.
En déduire les variations de la fonctionµ §
Partie B
Dans le repère orthogonal ci-dessous trois courbes µ §, µ § et µ § ont été représentées. L’une de ces courbes représente la fonction µ §, une autre représente sa dérivée et une troisième représente sa dérivée seconde.
Expliquer comment ces représentations graphiques permettent de déterminer la convexité de la fonctionµ §.
Indiquer un intervalle sur lequel la fonction µ §est convexe.
Analyse didactique
Les compétences mises en jeu dans cet exercice sont les suivantes :
A1A2A3BChercherXXXModéliserReprésenterXXCalculerXXRaisonnerXCommuniquerXLa partie A de l'exercice permet de déterminer rapidement la correspondance des courbes de la partie B. On peut ouvrir l'exercice en supprimant la partie A car le calcul µ § permet de conclure ; c'est typiquement la compétence Raisonner. La complémentarité entre ce que l'on voit sur le dessin (la fonction f décroit manifestement sur µ §) et le signe de la dérivée est typique de la compétence Représenter. La demande de l'énoncé d'expliquer est typique de la compétence Communiquer. L'effort langagier nécessaire à la formulation de la pensée est typique de ce que l'on attend des exercices mathématiques faits en classe ES-L.
ES-L Asie, exercice 4
Énoncé originel
Soit µ § la fonction définie sur µ § par : µ §.
On a tracé ci-dessous la droite µ §, représentation graphique de la fonction µ § dans un repère orthonormé µ § du plan.
Le point µ § a pour coordonnées µ §. La partie µ §du plan est l’intérieur au triangle µ §.
Soit µ § un nombre réel compris entreµ § et µ § ; on note µ § le point de coordonnées (µ § et µ §le point de µ §de coordonnées µ §). Le but de cet exercice est de trouver la valeur de µ § telle que le segment µ § partage µ § en deux parties de même aire.
Déterminer la valeur exacte de µ §, puis une valeur approchée au centième.
Analyse didactique
Telle qu’elle est posée, cette question met en œuvre l’ensemble des compétences mathématiques, sauf peut-être la modélisation. On peut envisager de recourir au calcul intégral, mais aussi utiliser la formule de l'aire d'un trapèze (si on la connait), ou encore voir dans la figure une situation d’agrandissement, ce qui amène, avec les outils du collège, directement à µ §. De façon à éviter de trop s’éloigner des préoccupations du programme de la série, on aurait pu envisager de prendre pour µ § la fonction inverse, ce qui imposait le calcul intégral et le recours à la fonction logarithme.
Variante proposée pour la formation des élèves
Soit la fonction µ §, définie sur l’intervalle µ § par
µ §
On note µ § la courbe représentative de la fonction µ §.
On pose
µ §
Établir que µ §. Donner une interprétation de ce résultat en termes d’aires.
On nomme µ § la partie du plan délimitée par l’axe des abscisses, la courbe µ § et les deux droites d’équations µ § et µ §
Soit µ § un nombre réel compris entre µ § et µ § ; on note µ § le point de coordonnées µ § et µ § le point de µ § de coordonnées µ §.
Trouver la valeur de µ § telle que le segment µ § partage µ § en deux parties d’aires identiques.
Analyse didactique
L'énoncé demande la valeur de µ § et non pas une valeur approchée. Cela suppose une certaine maitrise algébrique sur la fonction logarithme et les radicaux. Toutefois, dans le cadre d’une évaluation des compétences, toute valeur numérique approchée valide la question.
Exercices pour la série S
S Antilles-Guyane, exercice 3
Énoncé originel
Partie A
On note C l’ensemble des nombres complexes.
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé µ § on a placé un point M d’affixe µ § appartenant à C puis le point µ § intersection du cercle de centre µ §passant par M et du demi-axe µ §.
Exprimer l’affixe du point µ § en fonction de µ §.
Soit le point µ § d’affixe définie par µ §.
Reproduire la figure sur la copie et construire le point µ §.
Partie B
On définit la suite de nombres complexes µ § par un premier terme µ § appartenant à Cµ §et, pour tout entier naturel µ §, par la relation de récurrence µ §. Le but de cette partie est d’étudier si le comportement à l’infini de la suite µ § dépend du choix de µ §.
Que peut-on dire du comportement à l’infini de la suite µ § quand µ § est un nombre réel négatif ?
Que peut-on dire du comportement à l’infini de la suite µ § quand µ § est un nombre réel positif ?
On suppose désormais que µ § n’est pas un nombre réel.
Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l’infini de la suite µ § ?
Démontrer cette conjecture, puis conclure.
Analyse didactique
Diverses compétences sont ici mises en jeu :
A1A2B1B2B3aB3bChercherXXReprésenterXCalculerXXXXRaisonnerXXXCommuniquerXXLa prise d’initiative est ici progressive, avec d’abord l’introduction, sans le nommer, du milieu à la question A2 et du questionnement sur le comportement de la suite à la question B2, sans indication de méthode. La question B3a, qui porte sur la suite des modules, va plus loin dans cette direction, d’autant que plusieurs conjectures sont possibles (soit que la suite tend vers 0, soit qu’elle est décroissante, voire qu'il s'agit d'une suite de nombres réels !). La lecture précise de l'énoncé tend à l'existence d'une limite et non pas vers les aspects qualitatifs. Il y a donc une grande prise d'initiative possible qu'il convient de canaliser en fonction de la pertinence des réponses. On ne se satisfait pas d’une affirmation juste, si elle est sans intérêt. Les mathématiques ne sont pas en dehors du bon sens !
Dans la phase de recherche, le candidat peut être tenté, à tort, de trouver une expression de µ § en fonction de µ § alors que l’inégalité triangulaire, éventuellement sous sa forme géométrique au sein du triangle µ §, permet d'obtenir une majoration suffisante. C'est l'intelligence du calcul et l'adéquation des calculs à l’objectif énoncé dans la conjecture qui permet de s'en rendre compte.
La diversité des approches possibles va être mise à profit dans la version « formation » de cet exercice, proposée ci-dessous. Le texte, plus long, est conçu pour être abordé en plusieurs fois, en partie à la maison et en partie en classe.
Variante proposée pour la formation des élèves
Partie A
On propose dans le tableau ci-dessous quatre configurations géométriques créées dans le plan complexe C muni d’un repère orthonormé µ §, où l’on a placé un point µ § d’affixe µ §, un point µ §, ainsi que quatre opérations algébriques sur les nombres complexes permettant d’obtenir l’affixe du point µ §.
Trouver la figure associée à chacune des opérations.
N°FigureN°OpérationFig1 Op1µ §Fig2 Op2µ §Fig3 Op3µ §Fig4 Op4µ §Partie B
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé µ § on a placé un point µ § d’affixe µ § appartenant à C, puis le point µ § intersection du cercle de centre µ § passant par µ §et du demi-axe µ § (voir la figure reproduite ci-contre, et qui devra être refaite sur la feuille ou le cahier).
1) Exprimer l’affixe du point µ § en fonction de µ §.
2) Soit le point µ § d’affixe définie par µ §.
Reproduire la figure sur la feuille (ou le cahier) et construire le point µ § avec la règle et le compas (alternative : avec un logiciel de géométrie dynamique). Partie C
On définit la suite de nombres complexes µ § par un premier terme µ § appartenant à C et, pour tout entier naturel n, par la relation de récurrence µ §.
Le but de cette partie est d’étudier la suite µ § et tout particulièrement le comportement à l’infini de la suite µ §, avec µ §.
1) Que peut-on dire de la suite µ § quand µ § est un nombre réel négatif ?
2) Que peut-on dire de la suite µ § quand µ § est un nombre réel positif ?
3) On suppose désormais que µ § n’est pas un nombre réel. On pose µ §, µ § et µ § étant réels.
a. Que peut-on dire de la suite µ § ?
b. Quelle conjecture peut-on faire sur le comportement à l’infini de la suite µ § ?
c. Démontrer cette conjecture.
d. Quelle conséquence en tire-t-on pour la suite µ § ?
Quelques indications pouvant être données (ou non) :
Il peut être instructif de calculer quelques termes des suites étudiées au moyen de la calculatrice, en partant par exemple de µ § ;
une figure faisant apparaître les points d’affixes µ § peut aussi rendre service ;
on peut aussi s’intéresser aux arguments des nombres µ §.
Pour la différenciation et en lien avec le programme de spécialité sur les suites vectorielles, on peut conclure que la suite µ § converge vers µ §.
S - Centres à l’étranger Groupe 1, exercice 3 - Énoncé quasi-originel
Soit µ § un nombre réel fixé non nul.
Le but de cet exercice est d’étudier la suite µ § définie par : µ § et, pour tout entier naturel µ §,
µ §. On remarquera que cette égalité peut aussi s’écrire : µ §.
1) Soit g la fonction définie pour tout réel µ § par : µ §.
Calculer µ § et prouver que, pour tout réel µ § : µ §.
Déterminer les variations de la fonction g et donner la valeur de son minimum.
En remarquant que µ §, montrer que la suite µ § est croissante.
2) Dans cette question, on suppose que µ §.µ §
Que dire de la suite µ § lorsque µ § vautµ § ?
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, µ §.
Déduire des questions précédentes que la suite µ § est convergente. On notµ § sa limite.
On admet que, lorsque la suite (µ § a pour limiteµ §, la suite µ § a pour limite µ §. En déduire la valeur de µ §.
3) Dans cette question, on suppose que µ §.
D’après la question 1), la suite µ § est croissante ; on a donc pour tout entier naturel µ §,µ §.
Démontrer que, pour tout entier naturel µ §, on a : µ §.
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel µ §, on a : µ §.
Déterminer la limite de la suite µ § .
4) Dans cette question, on prend µ §.
L’algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier µ § tel que µ §, où µ § désigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet.
Variables n est un entier, u et M sont deux réels u prend la valeur 0,02Initialisation n prend la valeur 0Saisir la valeur de M Traitement Tant que ¡K ¡K¡K¡K¡K¡K¡KFin tant que Sortie Afficher nSur la copie, recopier la partie « Traitement » en la complétant.
À l’aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affichera si µ §.
Analyse didactique
La valeur numérique proposée µ § correspond aux limites raisonnables du calcul. Ces aspects numériques peuvent être discutés utilement en classe.
Les compétences mises en jeu dans cet exercice sont les suivantes :
1a1b1c2a2b2c3a3b3c4a4bChercherXXXReprésenterXCalculerXXXRaisonnerXXXXXXXXCommuniquerXXXLa prise d’initiative se réalise dans l’algorithme qui est présenté de manière assez incomplète. Par ailleurs, la dernière question, qui semble au premier abord nécessiter d’exécuter l’algorithme (en le programmant dans la calculatrice), peut être abordé de diverses manières :
utiliser le mode « séquence » de la calculatrice (qui fait apparaître les termes de la suite dans un tableau),
programmer la fonction µ § telle que µ § et répéter l’instruction µ § autant de fois qu’il est nécessaire pour dépasser 60 ou pour arriver à une situation d'explosion (il faut quand même compter le nombre de répétitions, soit 36).
Variante proposée pour la formation des élèves
Soit µ § un nombre réel fixé non nul. Le but de cet exercice est d’étudier la suite µ § définie par :
µ § et, pour tout µ § entier naturel, µ §.
1) Que peut-on dire de la suite µ § lorsque µ § ?
2) Soit µ § la fonction définie pour tout réel µ § par : µ §.
Calculer µ § et prouver que, pour tout réel µ § :µ §.
Déterminer les variations de la fonction g et donner la valeur de son minimum.
À l’aide de la fonction µ §, montrer que la suite µ § est croissante.
3) Dans cette question, on suppose que µ § .
Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel µ §, µ §.
Déduire des questions précédentes que la suite µ § est convergente. Quelle peut être sa limite ? Conclure.
4) Dans cette question, on prendµ § . L’algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit entier µ § tel que µ §, où µ § désigne un réel positif (on admet, dans cette question, qu’un tel entier existe bien). Cet algorithme est incomplet.
