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![]() BREVET DE TECHNICIEN SUPÉRIEUR COMPTABILITE ET GESTION DES ORGANISATIONS EPREUVE DE MATHEMATIQUESSESSION 2013 ________ Durée : 2 heures ________ Matériel et documents autorises : L'usage des instruments de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé. La clarté du raisonnement et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Dès que le sujet vous est remis, assurez-vous qu’il est complet. Le sujet comporte 7 pages, numérotées de 1 à 7. L'annexe page 7 est à rendre avec la copie. Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet. Il comprend 2 pages numérotées 1et 2. Le sujet comporte 2 exercices indépendants qui seront traités sur des copies séparées. Exercice n° 1 (12 points) L'objectif de cet exercice est d'utiliser une modélisation du pourcentage de bacheliers en France entre 1951 et 1985 puis d'en bâtir une deuxième sur la période allant de 1985 à 2010. Partie A : étude d'une fonction logistique. Considérons la fonction f définie sur [0 ; + ∞ [ par la relation : ![]() On désigne par Cf la courbe représentative de cette fonction dans un repère orthonormé.
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Partie B : une fonction rationnelle. Considérons maintenant la fonction g définie sur : [5 ; + ∞[ par la relation ![]() On donne ci-dessous le tableau des variations complet de la fonction g.
l'intervalle [85; 110]. Partie C : modélisation du pourcentage de bacheliers en France entre 1951 et 1985. Le pourcentage des bacheliers en France entre 1951 et 1985 et suivant une même classe d'âge est rapporté dans le tableau n° 1 : Tableau n° 1
Source : RERS, ministère de l'éducation nationale
On remplira au préalable le tableau de valeurs fourni dans cette même annexe (arrondir à 0,1). b) La fonction f modélise-t-elle convenablement l'évolution du pourcentage de bacheliers sur la période 1951 - 1985 ?
Partie D : modélisation de la proportion de bacheliers en France de 1985 jusqu'en 2010. À partir de 1985, sous l'influence de facteurs divers, dont la création du baccalauréat professionnel, la proportion de bacheliers en France par classe d'âge augmente significativement. Le tableau n° 2 en fournit quelques valeurs : Tableau n° 2
Source: RERS 2011, ministère de l'éducation nationale
g (x) = ![]() a) Exprimer g(85) et g(110) en fonction des réels a et b. b) En admettant que la courbe associée à la fonction g passe par les points de coordonnées (85; 29,4) et (110; 65,7), justifier que les réels a et b vérifient le système (S) : ![]() c) Résoudre le système (S). On donnera les valeurs exactes de a et b.
En vous aidant des résultats donnés dans la partie B : a) Donner une prévision du pourcentage maximal de bacheliers en France par classe d'âge les années suivantes. b) Interpréter par une phrase le résultat obtenu à la question 3. de la partie B. Exercice n° 2 (8 points) Les parties A et B sont indépendantes. Partie A : Q.C.M. Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque item, une seule des trois affirmations proposées est vraie. Chaque réponse juste rapporte un point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point. Une absence de réponse ne rapporte ni n’enlève de point. Si la somme des points est négative, elle est ramenée à zéro.
Source : bureau des pèlerins de Saint-Jacques de Compostelle
Réponse 1 : y = 14664,4x + 87439,6 Réponse 2 : y = 16697,2x + 79054, 2 Réponse 3 : y = 16502, 6x +85288, 2
Le taux de variation du nombre de pèlerins enregistrés par rapport au nombre théorique issu du modèle de la régression affine est approximativement égal à (arrondi à 0,1 %) : Réponse 1 : 69,6 % Réponse 2 : 41 % Réponse 3 : 1,7 %
51 % l'ont fait pour des raisons culturelles et religieuses ; 43 % l'ont fait pour des raisons strictement religieuses ; 6 % l'ont fait pour des raisons strictement culturelles. De plus, on sait que 58 % des pèlerins sont des hommes et 42 % des femmes. On choisit un pèlerin au hasard. On considère les événements suivants : R : « le pèlerin choisi a fait le chemin pour des raisons strictement religieuses » ; C : « le pèlerin choisi a fait le chemin pour des raisons strictement culturelles » ; M : « le pèlerin choisi a fait le chemin pour des raisons culturelles et religieuses » ; H : « le pèlerin choisi est un homme ». Parmi les trois diagrammes proposés ci-dessous, lequel est un arbre de probabilité susceptible de décrire la situation donnée ? ![]()
Le terme w10 est égal à : Réponse 1 : 12 Réponse 2: - 1 018 Réponse 3 : -2 042 Partie B : Tous les résultats de la partie B seront arrondis, si nécessaire, à 0,0001 près. En 2007, 38 % des Allemands venus en France le sont pour des raisons professionnelles, et 62 % pour des raisons touristiques ou personnelles. Soit X la variable aléatoire qui, à tout groupe de dix Allemands présents en France, associe le nombre de ceux venus pour des raisons professionnelles. On suppose que le nombre d'Allemands venus en France est suffisamment grand pour assimiler le choix aléatoire de dix de ces Allemands à un tirage avec remise.
On admet que Y suit la loi normale de moyenne m = 2000 km et d'écart type ![]()
Annexe 1 à rendre avec la copie Nuage de points associé au tableau n°1 ![]() Tableau de valeurs
Annexe 2 Nuage de points associé au tableau n°2 et courbe associé à la fonction g ![]() FORMULAIRE DE MATHÉMATIQUES BTS COMPTABILITÉ ET GESTION DES ORGANISATIONS
La loi normale centrée réduite est caractérisée par la densité de probabilité : ![]() EXTRAITS DE LAt ABLE DE LA FONCTION INTEGRALE DE LA LOI NORMALE CENTREE, REDUITE N (0,1 ) ![]() BTS COMPTABILITE ET GESTION DES ORGANISATIONS Mathématiques CGMAT SESSION 2013 © Comptazine BTS CGO 2013 – EPREUVE 2 - Mathématiques /7 |
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