Bibliographie 1- introduction





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Options, Calcul où l'on coche la case "Itération" et où l'on précise le "Nb maximum d'itérations:". (ex : 500)


La validation, bouton "OK", déclenche le calcul itératif qui effectue le nombre d'itérations spécifié.

L'information "Ecart maximum" sera ignorée dans l'utilisation d'EXCEL pour la mise en oeuvre de la méthode de Monte Carlo.

b-Les problèmes: en calcul itératif, le tableur descend systématiquement la colonne (ou la ligne) en recalculant séquentiellement toutes les cellules. EXCEL est un tableur optimisé qui ne recalcule que les cellules susceptibles de changer de valeur compte tenu des relations de dépendance qui les lient. En conséquence, les fonctions ALEA() des diverses cellules ne sont recalculées qu'une seule fois, à la première itération et ne sont pas recalculées aux itérations suivantes puisque rien ne les lie explicitement à l'itération précédente. Ce qui est gênant puisque notre objectif est de regénérer une valeur aléatoire pour ces variables, à chaque itération, afin d'en évaluer l'impact sur les critères de décision. ce qui lui permet de regénérer un aléa chaque fois que la fonction ALEA() est rencontrée dans une cellule

Le deuxième problème tient au fait que la fonction qui contrôle le nombre d’itérations n’est plus accessible dans Excel, alors qu’elle l’était dans les tableurs de la génération précédente (Multiplan, Lotus, Quattro,…). Sa disponibilité facilitait le contrôle d’initialisation des différents cumuls que nous allons devoir faire : calcul de la valeur moyenne, de la variance ou d'une probabilité.

c-Les solutions : ces deux problèmes vont être résolus en créant un compteur d'itérations. On crée le nom de variable Compteur, on l’affecte à la cellule adjacente, dans laquelle on entre ensuite : =Compteur+1

EXCEL signale alors une référence circulaire puisque la nouvelle valeur de la cellule est l'ancienne valeur de cette cellule plus 1, mais le calcul itératif sait résoudre les références circulaires, - il calcule séquentiellement les différentes cellules - ce qui va permettre de faire des cumuls dynamiques.

L'existence de ce compteur permettra :

1 - d'initialiser les cumuls (compteur=1)

exemple: pour une cellule de la colonne C et de la ligne dans laquelle on veut cumuler les valeurs successives des marges nettes obtenues à chaque itération (cellule C ) pour pouvoir ensuite calculer la marge nette globale moyenne :

=si(Compteur=1;Res;Cumul+Res)

C'est sur ce principe que l'on peut cumuler de façon dynamique les différentes valeurs de marge nette obtenues à chaque itération.

2 - de lier explicitement le compteur à toute cellule dont on veut forcer le recalcul à chaque itération parce qu'elle contient un appel de la fonction Alea().

Exemple pour obtenir un nouveau marché global à chaque itération:

Ent(90000+20000*alea()) + Compteur - Compteur

Compteur étant le nom donné à la cellule qui contient le compteur d'itérations. Le fait d’ajouter et de retrancher la même valeur est un artifice qui ne modifie pas la valeur de la cellule, mais contraint Excel à ré-évaluer cette cellule qui dépend de la valeur du compteur, valeur qui change à chaque itération. C'est ce que l'on fait également pour la cellule dans laquelle on génère l'aléa pour le coût variable et celle du calcul de la capacité supplémentaire disponible.

Pour lancer le calcul et assurer l'initialisation des variables, il suffit de placer le curseur sur la cellule contenant la valeur du compteur d'itérations, de faire F2 suivi de Retour.


3-3 Mise en place des indicateurs statistiques permettant de caractériser la distribution du résultat
A chaque itération, la feuille est recalculée, les aléas sont générés et donnent une nouvelle valeur de marché global, de part de marché et de capacité de production, donc on obtient un nouveau résultat économique. Naturellement, chaque nouvelle itération « écrase » les résultats de l’itération précédente. Afin de pouvoir conserver l’information permettant de calculer les paramètres caractérisant la distribution statistique du résultat, on utilise la possibilité de calcul de cumul en mode calcul itératif :

- la moyenne de la marge nette globale annuelle sera obtenue en cumulant les résultats obtenus à chaque itération et en le divisant par le nombre d’itérations (valeur du compteur)

- sa variance sera obtenue en cumulant les écarts centrés quadratiques et en le divisant par le nombre d’itérations

- on pourra également calculer la probabilité d’atteindre un objectif de résultat fixé à priori, en comptant le nombre de marge nette globale supérieure ou égael à cet objectif, divisé par le nombre total de résultats obtenus.
3-3-1 Calcul de la moyenne :

Soit Xi la marge nette de l’itération i : L’espérance mathématique de marge ou valeur moyenne sera : , n est le nombre d’itérations, c'est-à-dire la valeur du compteur.

Soit dans Excel :

On nomme la cellule dans laquelle on va faire le cumul des marges nettes : Cumul

On programme le cumul en l’initialisant avec la marge nette obtenue Res à la première itération (Compteur=1), soit :

Cumul = Si (Compteur=1; Res ; Cumul+Res)

D’où la valeur de la marge nette globale moyenne : Espmarge

Espmarge = Cumul / Compteur


3-3-2 Calcul de l’écart-type  :
On calcule la variance Vx =

Soit après développement de la formule : Vx =

Et l’écart-type :
Soit dans Excel :

On nomme Cumarge2 le cumul des marges nettes moyennes quadratiques, que l’on initialise avec le carré de la première marge nette moyenne obtenue (Compteur=1) :

Cumarge2 = Si (Compteur=1 ; Res * Res ; Cumarge2 + Res * Res)

D’où la variance Var

Var =( Cumarge2 / Compteur) – Espmarge * Espmarge

Et l’écart-type Sigma :

Sigma= Racine (Var)
3-3-3 Calcul de la probabilité d’atteindre un objectif de résultat donné
Supposons que cette unité de production se voit assigner un objectif de marge nette globale annuelle de 250 000 K€. On peut évaluer la probabilité d’atteindre cet objectif en mesurant la fréquence expérimentale avec laquelle ce résultat sera obtenu dans la simulation: l’objectif est atteint chaque fois que le résultat d’une itération est supérieur ou égal à 250 000 K€. Pour mesurer cette fréquence on compte le nombre de fois que la marge est supérieure ou égale à l’objectif et on le divise par le nombre total de résultats obtenus.

On nomme Cumres la cellule dans laquelle on programme le calcul du nombre d’itérations où la marge est supérieure ou égale à l’objectif, nommé Objectif que l’on a entré dans la zone des variables contrôlables. Comme pour les autres calculs de cumul, on utilise compteur =1 pour initialiser le cumul à la valeur 0, ce qui suppose que la première marge obtenue n’est pas supérieure à l’objectif. - Cette minoration éventuelle de la fréquence mesurée n’est pas significative -.

Soit :

Cumres = Si (Compteur=1 ; 0 ; Si ( Res >= Objectif ; Cumres + 1 ; Cumres))

La variable Cumres est incrémentée de 1 si la marge Res est supérieure ou égale à Objectif.

D’où la fréquence mesurée, que l’on assimilera, par définition, (le rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas possibles) à la probabilité d’atteindre l’objectif :

Proba = Cumres / Compteur

3-4 Mise en oeuvre de la simulation



  1. On fixe les paramètres et les valeurs retenues pour les variables contrôlables

  2. On fixe le nombre d'itérations : Outils, Options, Calcul, Itérations, nombre max d’itérations=500, par exemple. Ce nombre maximum est revu par ajustement successif en examinant la stabilisation de la valeur moyenne du critère (marge_nette_globale_moyenne). Plus le nombre de variables aléatoire est élevé plus il faut envisager un nombre important d'itérations.

  3. On initialise le compteur d'itérations en positionnant le curseur sur la cellule du compteur, puis F2 et Entrée, ce qui lance la simulation et réinitialise tous les cumuls.

  4. Il peut-être intéressant d’introduire les variables aléatoires séparément, une par une, de façon à voir l’impact spécifique de chacune d’elles sur les critères (espérance mathématique, écart-type, Probabilité).

On pourra constater, ensuite, que chaque fois que l’on introduit une variable aléatoire supplémentaire, la dispersion du résultat augmente.
On trouvera ci-après, la feuille Excel (sans et avec formules) pour l’exemple support du cours.







Bibliographie
BALLAZ B., BINET P., GIROD P., MICHALLAT R. La simulation de gestion, PUF, 1974

BALLAZ B., 1989 L'utilisation du tableur MULTIPLAN pour la mise en oeuvre de simulation de type "Monte Carlo", papier de recherche N°89-15, CERAG, ESA Grenoble

EKLAND I., Au Hasard, Seuil. 1991

FORRESTER J.W., Industrial Dynamics 9e éd. MIT Press, 1977.

HERTZ D., Risk analysis in capital investment, Harvard Business Review, January, 1964.

LEMOIGNE J.L., La théorie du système général, PUF, 1977.

LEVY P., Les technologies de l'intelligence, Point Seuil, 1991

MICROSOFT EXCEL 5.0, Guide de l'utilisateur, 1994.

MOLES A., Les sciences de l'imprécis, Seuil, 1990.

NAYLOR, T Computer simulation experiments with models of economic systems, Wiley,1971

SENGE S., The 5th Discipline,

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