2 Le zéro est-il utile pour l'écriture des nombres? Si oui, quels inconvénients présenteraient sa non utilisation? 3





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Sujet 13 /

Histoire de la numération

Comment l'Humanité s'est-elle doté d'un système de numération qui permet de dénombrer et de calculer? A qui doit-on notre système de numération?

Chaque élève devra rédiger un compte-rendu soigné, en faisant des phrases claires et en justifiant chaque réponse à chaque question.
I Définitions


Chiffres et nombres:

Dans toute numération, il faut distinguer chiffres et nombres.

  • Un nombre est le résultat du comptage d'un ensemble d'objets, d'animaux, de personnes...

  • Pour écrire un nombre, on peut utiliser un ou plusieurs chiffres.

Une année comporte douze mois : douze (12) est un nombre comportant deux chiffres (1 et 2)


Une semaine comporte sept jours : sept (7) est un nombre qui s'écrit avec un seul chiffre (7)



Base:
On a pris l'habitude de compter en "paquets".

  • On regroupe dix unités en un "paquet" nommé dizaine;

  • On regroupe dix dizaines en un "paquet" nommé centaine etc.

La numération moderne regroupe donc les éléments à dénombrer en "paquets" de dix. On dit qu'on utilise la "base dix".
ex: 2 583 = 2 x 103 + 5 x 102 + 8 x 101 + 3 x 100

= 3 unités (100) + 8 dizaines (101) + 5 centaines (102) + 2 milliers (103)

Questions:
1)
Combien de chiffres comporte le système de numération décimale utilisé aujourd'hui?
2) Le zéro est-il utile pour l'écriture des nombres?

Si oui, quels inconvénients présenteraient sa non utilisation?
3) Décomposer le nombre 37 804 en une addition de cinq parties à l'aide des puissances de dix.



II Deux grands types de numération:


Numération additive:
La numération égyptienne utilisait les hiéroglyphes ci-contre. Leurs symboles évoquent chacun un ordre de grandeur.

  • Un bâton évoque l'unité,

  • Une anse de panier: ils comptent environ 10 objets,

  • Un rouleau de papyrus: on peut y écrire environ 100 hiéroglyphes,

  • Une fleur de lotus: on les trouve par milliers,

  • Un doigt montrant le ciel nocturne: on y voit près de 10 000 étoiles,

  • Un têtard: on en trouve de l'ordre de 100 000 au bord du Nil après la ponte,

  • Un dieu agenouillé supportant le ciel: le dieu est éternel et 1 million d'années est synonyme d'éternité)

On additionne les valeurs de tous les signes utilisés pour écrire le nombre.

On peut vérifier que ce nombre est 2964.

Les chiffres:


Numération de position:
Un exemple actuel: la numération décimale moderne utilisant les chiffres arabes.

La valeur représentée par un chiffre dépend de sa position.

3 344 = 3 x 103

         + 3 x 102

         + 4 x 101

         + 4 x 100

C'est pourquoi on parle de numération de position. On fait ainsi l'économie de l'écriture de nombreux signes.


Les chiffres:

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

Q 1: Ecrire les nombres 10275 et 2000 en numération égyptienne.

Q 2: Le zéro est-il nécessaire dans ce type de numération.

Q 3: Faire une phrase pour donner le principe d'une numération additive.

Q 4: Quelle base utilise la numération égyptienne? D'après vous, pourquoi cette base a-t-elle été souvent choisie dans les numérations inventées par l'homme?

Q 5: Dire simplement, à partir de l'écriture d'un même nombre dans les deux numérations ci-dessus, une raison pour laquelle les numérations de position sont un progrès par rapport aux numérations additives.


Numération romaine:
La numération romaine permettait d'écrire les neufs premiers chiffres ainsi:


On remarque l'écriture du chiffre quatre et celle du chiffre neuf. Ce n'est qu'au Moyen-Age qu'on a écrit les chiffres romains en utilisant des différences telles que IX (neuf), XC (quatre-vingt dix)...

Avec les chiffres romains, on peut écrire de façon purement additive. Ils sont plus simples et plus lisibles que les chiffres égyptiens.
Q 1: Ecrire les nombres 1948 et 2001 en numération romaine.
Q 2: Traduire les nombres ci-dessous en numération actuelle.

       

      

Signes employés:



Numération savante chinoise:
Cette numération à base dix était utilisée pour les mathématiques. Elle comporte neuf chiffres, le zéro étant indiqué par une case vide (espace). Il existe deux sortes de chiffres (voir ci-contre) selon le rang.

Ainsi, 1987 s'écrit

et 2026 s'écrit     

On pourrait reprocher à ce système de numération un risque d'erreur, si l'espace est oublié. L'alternance des deux types de chiffres évite cette ambiguïté. Toutefois, le risque existe si deux zéros se suivent, mais il est impossible de ne pas remarquer le double espace.
Il faut remarquer que les nombres s'écrivaient au départ dans des cases; ces abaques ont ensuite disparu.



Q 3: Lire les nombres suivants:         et

Q 4: Ecrire en numération savante chinoise, les nombres ci-dessous:

3962, 640, 64 et 6400.


Colonne 1:

chiffres de rangs impairs, utilisés pour les unités, les centaines

Colonne 2: chiffres de rangs pairs, utilisés pour les dizaines, les milliers




III La numération mésopotamienne : la base soixante


Il y a 4000 ans, en Mésopotamie est apparu le premier système de numération. On a retrouvé des jetons en terre cuite dont les valeurs (1, 10, 60, 600, 3600 et 36000)  permettaient de réaliser tous les nombres entiers.

La numération écrite est ensuite apparue avec l'écriture, vers 3300 av JC. Elle permettait de gérer les troupeaux, les récoltes, les hommes, les superficies des terres.


Les formes utilisées étaient le petit cône, la sphère, le grand cône, le cône perforé et la sphère perforée

Cette numération additive, sumérienne à l'origine, utilisait des petits clous, des grands clous, des chevrons. La confusion possible entre grands clous et petits clous la fit évoluer vers une numération de position.



Lorsque la numération de position fut inventée, la nécessité du zéro se fit sentir. Il fallut tout de même un millénaire et demi pour parvenir à la numération de position à base soixante avec zéro. Cette numération ne comporte que trois signes: le un, le dix et le zéro.



Les nombres, en Mésopotamie, étaient écrits sur des plaques d'argile fraîche. Les scribes utilisaient une tige de roseau taillée appelée calame. Par séchage au soleil, on obtient ainsi des tablettes dont la conservation est excellente. On en a retrouvé de grandes quantités.
calame



Le nombre à trois chiffres ci-dessus (base 60) se traduit en numération décimale par:

5 x 602 + 3 x 601 + 31 x 600 = 18 211

Q 1: Traduire en numération décimale le nombre ci-contre.

Q 2: Ecrire 155 en numération babylonienne.

Q 3: Ecrire le nombre 72000 en numération babylonienne. Quel inconvénient présentait l'écriture de ce nombre avant que le zéro ne soit inventé?



L'héritage des babyloniens : L'astronome grec Hipparque introduisit en Grèce (2ème siècle av JC), la division du cercle en 360 degrés, chaque degré étant divisé en 60 minutes et chaque minute en 60 secondes. Nous avons conservé ce vestige de la base soixante des Babyloniens, par l'intermédiaire d'Hipparque.

IV Des numérations pour l'ère numérique


Les numérations de l'électronique et de la photonique

Toutefois, pour les grands nombres, l'écriture est un peu longue.

Q 2: Quel est le nombre binaire (base deux) ci-dessous le plus proche de 1 million (1 000 000 en base dix)?
a) 1 0000 0000 0000 0000 0000;
b) 1 0000 0000 0000 0000;
c) 1 0000 0000 0000;
d) 1 0000 0000.
Que pensez-vous de l'écriture du nombre 1 million en base deux ?

Un demi-octet, on peut le vérifier, va de zéro à quinze. On peut donc utiliser la base seize pour remplacer un demi-octet.

0

1

2

3

...

9

A

B

C

D

E

F

 

 

 

 

 

 

dix

onze

douze

treize

quatorze

quinze

l'octet valant 255 devient donc en base seize:

1

1

1

1

1

1

1

1

F

F

Ceci permet d'écrire simplement les adresses des mémoires de l'ordinateur ou par exemple les codes des 16 millions de couleurs utilisées en informatique.

En électronique (courants électriques) ou en photonique (lumière), il n'existe que deux états:

Tension            1

Lumière            1

Pas de tension  0

Pas de lumière  0

On est donc amené à utiliser la base deux. C'est la numération idéale de l'informatique.
Un octet est une suite de 8 chiffres binaires appelés bits (chaque bit vaut 0 ou 1).
Un octet permet de compter de

0

0

0

0

0

0

0

0

soit 0

à

1

1

1

1

1

1

1

1

soit 255

Q 1: Pourquoi un enregistrement sur cédérom ou sur disque dur ne permet-il pas d'utiliser autre chose que la base deux?

Q 3: Traduire FFFFFF en décimal puis en binaire. Conclure.

Q 4: On reconstitue les couleurs en informatique à partir du rouge, du vert et du bleu. Sachant que chaque couleur est codée par un octet, combien de couleurs peut-on ainsi reconstituer?

Remarque: le blanc est codé par: FF FF FF; le noir est codé par 00 00 00. (chaque groupe de deux chiffres code une couleur, dans l'ordre: rouge, vert, bleu).

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