Les programmes de cycle 3 / L’enseignement des mathématiques





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date de publication14.12.2016
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Les programmes de cycle 3 / L’enseignement des mathématiques

Mathématiques

Compétences travaillées

Compétences associées

Attendus de fin de cycle

Repères de progressivité



Nombres et calculs


Utiliser et représenter les grands nombres entiers,

des fractions simples, les nombres décimaux


-Composer, décomposer les grands nombres

entiers, en utilisant des regroupements par

milliers.» Unités de numération (unités simples, dizaines, centaines, milliers, millions, milliards) et leurs relations.

Comprendre et appliquer les règles de la

numération aux grands nombres (jusqu’à 12

chiffres).

Comparer, ranger, encadrer des grands nombres entiers, les repérer et les placer sur une demi-droite graduée adaptée

-Comprendre et utiliser la notion de fractions simples.» Écritures fractionnaires.» Diverses désignations des fractions (orales, écrites et décompositions).

Repérer et placer des fractions sur une demi-

droite graduée adaptée.» Une première extension de la relation d’ordre.

Encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs.

Établir des égalités entre des fractions simples

-Comprendre et utiliser la notion de fractions

simples.» Écritures fractionnaires.» Diverses désignations des fractions (orales, écrites et décompositions).

Repérer et placer des fractions sur une demi-

droite graduée adaptée.» Une première extension de la relation d’ordre.

Encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs.

Établir des égalités entre des fractions simples.

-Comprendre et utiliser la notion de nombre

décimal.»

Spécificités des nombres décimaux.

Associer diverses désignations d’un nombre

décimal (fractions décimales, écritures à virgule et décompositions).» Règles et fonctionnement des systèmes de numération dans le champ des nombres décimaux, relations entre unités de numération (point de vue décimal), valeurs des chiffres en fonction de leur rang dans l’écriture à virgule d’un nombre décimal (point de vue positionnel).

Repérer et placer des décimaux sur une demi-

droite graduée adaptée.

-Comparer, ranger, encadrer, intercaler des

nombres décimaux. » Ordre sur les nombres décimaux.

Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux.

Les fractions sont à la fois objet d’étude et support pour l’introduction et l’apprentissage des nombres décimaux. Pour cette raison, on commence dès le CM1 l’étude des fractions simples (comme 2 ; ; 5 )

3 4 2

et des fractions décimales.

Du CM1 à la 6, on aborde différentes conceptions possibles de la fraction, du partage de grandeurs jusqu’au quotient de deux nombres en-tiers, qui sera étudié en 6e

Pour les nombres décimaux, les activités peuvent se limiter aux centièmes en début de cycle pour s’étendre aux dix-millièmes en 6e



Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux

-Mémoriser des faits numériques et des procédures élémentaires de calcul. Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit.

Vérifier la vraisemblance d’un résultat,

notamment en estimant son ordre de grandeur.» Addition, soustraction, multiplication, division.»

Propriétés des opérations :

• 2+9 = 9+2

• 3×5×2 = 3×10

• 5×12 = 5×10 + 5×2. »

Faits et procédures numériques additifs et

multiplicatifs.»

Multiples et diviseurs des nombres d’usage

courant.»

Critères de divisibilité (2, 3, 4, 5, 9, 10).
Calcul mental :

calculer mentalement pour obtenir un résultat exact ou évaluer un ordre de grandeur.

Calcul en ligne : utiliser des parenthèses dans des situations très simples. » Règles d’usage des parenthèses.

Calcul posé :

mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour l’addition, la soustraction, la multiplication, la division. » Techniques opératoires de calcul (dans le cas de la division, on se limite à diviser par un

entier).

Calcul instrumenté :

utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat.» Fonctions de base d’une calculatrice.



Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux

La pratique du calcul mental s’étend progressivement des nombres entiers aux nombres

décimaux, et les procédures à mobiliser se complexifient.

Les différentes techniques opératoires portent sur des nombres entiers et/ou des nombres décimaux :» addition et soustraction pour les nombres décimaux dès le CM1,»

multiplication d’un nombre décimal par un nombre entier au CM2, de deux nombres décimaux en 6e,» division euclidienne dès le début de cycle, division de deux nombres entiers avec quotient décimal, division d'un nombre décimal par un nombre entier à partir du CM2.


Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul

-Résoudre des problèmes mettant en jeu les quatre opérations.» Sens des opérations.

» Problèmes relevant

• des structures additives,

• des structures multiplicatives.

-Organisation et gestion de données

Prélever des données numériques à partir

de supports variés. Produire des tableaux,

diagrammes et graphiques organisant des

données numériques.

Exploiter et communiquer des résultats de

mesures. » Représentations usuelles :

• tableaux (en deux ou plusieurs colonnes, à

double entrée),

• diagrammes en bâtons, circulaires ou semi-

circulaires,

• graphiques cartésiens

-Proportionnalité»

Reconnaitre et résoudre des problèmes

relevant de la proportionnalité en utilisant

une procédure adaptée.



Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul

La progressivité sur la résolution de problèmes, outre la structure mathématique du problème, repose notamment sur :»

les nombres mis en jeu : entiers (tout au long du cycle) puis décimaux, » le nombre d’étapes de calcul et la détermination ou non de ces étapes par les élèves : on passe de problèmes dont la solution engage une démarche à une ou plusieurs étapes indiquées dans l’énoncé pour aboutir en 6e

à des problèmes nécessitant l’organisation de données multiples ou la construction d’une démarche,» les supports envisagés pour la prise d’informations : la collecte des informations utiles peut se faire

à partir d’un support unique en CM1 (texte ou tableau ou représentation graphique) puis à partir de deux supports complémentaires pour aller vers des tâches complexes mêlant plusieurs supports en 6e

La communication de la démarche et des résultats prend différentes formes et s’enrichit au cours du cycle.

Dès le début du cycle, les problèmes proposés relèvent des quatre opérations, l’objectif est d’automatiser la reconnaissance de l’opération en fin de cycle 3.


Grandeurs et mesures

Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des

nombres décimaux : longueur (périmètre), aire, volume, angle

Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs.

Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques)en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux


Comparer des périmètres avec ou sans recours à la mesure.

Mesurer des périmètres en reportant des unités et des fractions d’unités, ou en utilisant une formule.»

Notion de longueur : cas particulier du

périmètre.»

Formule du périmètre d’un carré, d’un

rectangle.»

Formule de la longueur d’un cercle. Unités relatives aux longueurs : relations entre les unités de longueur et les unités de numération (grands nombres, nombres décimaux).

-Comparer, classer et ranger des surfaces selon leurs aires sans avoir recours à la mesure.

Différencier aire et périmètre d’une surface.

Déterminer la mesure de l’aire d’une surface à partir d’un pavage simple ou en utilisant une formule.

Estimer la mesure d’une aire par différentes

procédures. » Unités usuelles d’aire : multiples et sous-multiples du m² et leurs relations, are et hectare.»

Formules de l’aire d’un carré, d’un rectangle,

d’un triangle, d’un disque.
Relier les unités de volume et de contenance.

Estimer la mesure d’un volume par différentes

procédures.»

Unités usuelles de contenance (multiples et

sous multiples du litre).» Unités usuelles de volume (cm3, dm3, m3), relations entre les unités.

Déterminer le volume d’un pavé droit en se

rapportant à un dénombrement d’unités ou en

utilisant une formule. » Formule du volume d’un cube, d’un pavé droit.

Identifier des angles dans une figure

géométrique.

Comparer des angles.

Reproduire un angle donné en utilisant un

gabarit.

Reconnaitre qu’un angle est droit, aigu ou obtus.

Estimer la mesure d’un angle

Estimer et vérifier qu’un angle est droit, aigu ou obtus.

Utiliser un instrument de mesure (le rapporteur) et une unité de mesure (le degré) pour :

- déterminer la mesure en degré d’un angle,

- construire un angle de mesure donnée en

degrés. Notion d’angle

Lexique associé aux angles : angle droit, aigu,

obtus. Mesure en degré d’un angle.

Résoudre des problèmes de comparaison avec et sans recours à la mesure.

Résoudre des problèmes dont la résolution

mobilise simultanément des unités différentes de mesure et/ou des conversions.

Calculer des périmètres, des aires ou des

volumes, en mobilisant ou non, selon les cas, des formules.

Formules donnant

• le périmètre d’un carré, d’un rectangle,

• la longueur d’un cercle,

• l’aire d’un carré, d’un rectangle, d’un

triangle, d’un disque

• le volume d’un cube, d’un pavé droit

Calculer la durée écoulée entre deux instants

donnés.
Déterminer un instant à partir de la connaissance d’un instant et d’une durée.

Unités de mesures usuelles: jour, semaine,

heure, minute, seconde, dixième de seconde,

mois, année, siècle, millénaire.

Proportionnalité

Identifier une situation de proportionnalité

entre deux grandeurs

» Graphiques représentant des variations entre

deux grandeurs.


Comparer, estimer, mesurer des grandeurs géométriques avec des nombres entiers et des nombres

décimaux : longueur (périmètre), aire, volume, angle

Utiliser le lexique, les unités, les instruments de mesures spécifiques de ces grandeurs.

Résoudre des problèmes impliquant des grandeurs (géométriques, physiques, économiques) en utilisant des nombres entiers et des nombres décimaux



Les longueurs : En 6e, le travail sur les longueurs permet en particulier de consolider la notion de périmètre, et d’établir la notion de distance entre deux points, entre un point et une droite. L’usage du compas permet de comparer et reporter des longueurs, de comprendre la définition du cercle (comme ensemble des points à égale distance du centre). La construction et l’utilisation des formules du périmètre du carré et du rectangle interviennent progressivement au cours du cycle. La formule donnant la longueur d’un cercle est utilisée en 6e.

Les durées : Un travail de consolidation de la lecture de l’heure, de l’utilisation des unités de mesure des durées et de leurs relations ainsi que des instruments de mesure des durées est mené en CM1.

Tout au long du cycle, la résolution de problèmes s’articule autour de deux types de tâches : calculer une durée à partir de la donnée de l’instant initial et de l’instant final, déterminer un instant à partir

de la connaissance d’un instant et d’une durée. La maitrise des unités de mesure de durées et de leurs

relations permet d’organiser la progressivité de ces problèmes.

Les aires

: Tout au long du cycle, il convient de choisir la procédure adaptée pour comparer les aires

de deux surfaces, pour déterminer la mesure d’une aire avec ou sans recours aux formules. Dès le

CM1, on compare et on classe des surfaces selon leur aire. La mesure ou l’estimation de l’aire d’une

surface à l’aide d’une surface de référence ou d’un réseau quadrillé est ensuite abordée. Une fois ces

notions stabilisées, on découvre et on utilise les unités d’aire usuelle et leurs relations. On peut alors

construire et utiliser les formules pour calculer l’aire d’un carré, d’un rectangle, puis en 6e, calculer l’aire d’un triangle rectangle, d’un triangle quelconque dont une hauteur est connue, d’un disque.

Contenance et volume:

En continuité avec le cycle 2, la notion de volume sera vue d’abord comme une contenance. Au primaire, on compare des contenances sans les mesurer et on mesure la contenance d’un récipient par un dénombrement d’unités, en particulier en utilisant les unités usuelles (L,

dL, cL, mL) et leurs relations. Au collège, ce travail est poursuivi en déterminant le volume d’un pavé

droit. On relie alors les unités de volume et de contenance (1 L = 1 dm3; 1 000 L = 1 m3).

Les angles:

Au primaire, il s’agit d’estimer et de vérifier, en utilisant l’équerre si nécessaire, qu’un angle est droit, aigu ou obtus, de comparer les angles d’une figure puis de reproduire un angle, en

utilisant un gabarit. Ce travail est poursuivi au collège, où l’on introduira une unité de mesure des angles et l’utilisation d’un outil de mesure (le rapporteur)

205.

Initiation à la programmation : Une initiation à la programmation est faite à l’occasion notamment d’activités de repérage ou de déplacement (programmer les déplacements d’un robot ou ceux d’un personnage sur un écran), ou d’activités géométriques (construction de figures simples ou de figures composées de figures simples). Au CM1, on réserve l’usage de logiciels de géométrie dynamique à des fins d’apprentissage manipulatoires (à travers la visualisation de constructions instrumentées) et de validation des constructions de figures planes. À partir du CM2, leur usage progressif

pour effectuer des constructions, familiarise les élèves avec les représentations en perspective cavalière et avec la notion de conservation des propriétés lors de certaines transformations.

repères de progressivité : le cas particulier de la proportionnalité

La proportionnalité doit être traitée dans le cadre de chacun des trois domaines « nombres et calculs, « grandeurs et mesures » et « espace et géométrie ».

En CM1, le recours aux propriétés de linéarité (additive et multiplicative) est privilégié dans des problèmes mettant en jeu des nombres entiers. Ces propriétés doivent être explicitées ; elles peuvent

être institutionnalisées de façon non formelle à l’aide d’exemples (« si j’ai deux fois, trois fois... plus d’invités, il me faudra deux fois, trois fois... plus d’ingrédients » ; « si 6 stylos coutent 10 euros et 3 stylos coutent 5 euros, alors 9 stylos coutent 15 euros » ).

Les procédures du type passage par l’unité ou calcul du coefficient de proportionnalité sont mobilisées progressivement sur des problèmes le nécessitant et en fonction des nombres (entiers ou décimaux) choisis dans l’énoncé ou intervenant

dans les calculs.

À partir du CM2, des situations impliquant des échelles ou des vitesses constantes peuvent être rencontrées. Le sens de l’expression « ...% de » apparait en milieu de cycle. Il s’agit de

savoir l’utiliser dans des cas simples (50 %, 25 %, 75 %, 10 %) où aucune technique n’est nécessaire, en lien avec les fractions d’une quantité. En fin de cycle, l’application d’un taux de pourcentage est

un attendu.


Espace et géométrie

(Se) repérer et (se) déplacer dans l’espace en utilisant ou en élaborant des représentations

Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter,

construire quelques solides et figures géométriques

Reconnaitre et utiliser quelques relations géométriques


Se repérer, décrire ou exécuter des déplacements, sur un plan ou sur une carte.

Accomplir, décrire, coder des déplacements dans des espaces familiers.

Programmer les déplacements d’un robot ou

ceux d’un personnage sur un écran.

Vocabulaire permettant de définir des

positions et des déplacements.

Divers modes de représentation de l’espace.
Reconnaitre, nommer, comparer, vérifier, décrire :

- des figures simples ou complexes (assemblages de figures simples)

- des solides simples ou des assemblages de

solides simples à partir de certaines de leurs propriétés.

Figures planes et solides, premières ca

caractérisations :

• triangles dont les triangles particuliers

(triangle rectangle, triangle isocèle, triangle

équilatéral)

• quadrilatères dont les quadrilatères

particuliers (carré, rectangle, losange,

première approche du parallélogramme)

• cercle (comme ensemble des points situés à

une distance donnée d’un point donné).

Vocabulaire approprié pour nommer les

solides : pavé droit, cube, prisme droit,

pyramide régulière, cylindre, cône, boule.

Reproduire, représenter, construire :

» des figures simples ou complexes (assemblages de figures simples)

» des solides simples ou des assemblages de

solides simples sous forme de maquettes ou

de dessins ou à partir d’un patron (donné,

dans le cas d’un prisme ou d’une pyramide,

ou à construire dans le cas d’un pavé droit).

Réaliser, compléter et rédiger un programme de construction.

Réaliser une figure simple ou une figure

composée de figures simples à l’aide d’un logiciel.

Effectuer des tracés correspondant à des relations de perpendicularité ou de parallélisme de droites et de segments.

Déterminer le plus court chemin entre deux

points (en lien avec la notion d’alignement).

Déterminer le plus court chemin entre un point et une droite ou entre deux droites parallèles (en lien avec la perpendicularité).

Alignement, appartenance.

Perpendicularité, parallélisme (construction

de droites parallèles, lien avec la propriété

reliant droites parallèles et perpendiculaires)

Egalite de longueurs

Egalite d’angles

Distance entre deux points, entre un point et

une droite.
Compléter une figure par symétrie axiale.

Construire la figure symétrique d’une figure

donnée par rapport à un axe donné que l’axe

de symétrie coupe ou non la figure, construire

le symétrique d’une droite, d’un segment, d’un point par rapport à un axe donné.

Figure symétrique, axe de symétrie d’une

figure, figures symétriques par rapport à un

axe.

Propriétés de conservation de la symétrie

axiale.

Médiatrice d’un segment.

Proportionnalité

Reproduire une figure en respectant une échelle.

Agrandissement ou réduction d’une figure.

.
.



(Se) repérer et (se) déplacer dans l’espace en utilisant ou en élaborant des représentations
Reconnaitre, nommer, décrire, reproduire, représenter, construire des figures et solides usuels


Reconnaitre et utiliser quelques relations géométriques (notions d’alignement, d’appartenance, de

perpendicularité, de parallélisme, d’égalité de longueurs, d’égalité d’angle, de distance entre deux points, de symétrie, d’agrandissement et de réduction)



La progressivité s’organise en prenant en compte :

les gestes de géométrie : certaines compétences de construction, comme tracer un segment d’une longueur donnée ou reporter la longueur d’un segment (CM1-CM2) ou encore reproduire un angle (6e) sont menées conjointement avec les apprentissages du domaine

« grandeurs et mesures »,

l’évolution des procédures et de la qualité des connaissances mobilisées : ainsi, l’élève doit tout d’abord savoir reconnaitre un carré en prenant en compte la perpendicularité et l’égalité des mesures des côtés (CM1-CM2) puis progressivement de montrer qu’il s’agit d’un carré à partir des propriétés de ses diagonales ou de ses axes de symétrie (6e),

les objets géométriques fréquentés, la maitrise de nouvelles techniques de tracé (par rapport au cycle 2).

Le raisonnement :

A partir du CM2, on amène les élèves à dépasser la dimension perceptive et instrumentée pour raisonner uniquement sur les propriétés et les relations. Par exemple, l’usage de la règle et du compas pour tracer un triangle, connaissant la longueur de ses côtés, mobilise la connaissance des propriétés du triangle et de la définition du cercle. Il s’agit de conduire sans formalisme

des raisonnements simples utilisant les propriétés des figures usuelles ou de la symétrie axiale. Un vocabulaire spécifique est employé dès le début du cycle pour désigner des objets, des relations et des propriétés.

Vocabulaire et notations :

Au primaire, lorsque les points seront désignés par des lettres, les professeurs veilleront à toujours préciser explicitement l’objet dont il parle : « le point A », « le segment [AB] », « le triangle ABC », etc. Aucune maitrise n’est attendue des élèves pour ce qui est des codages

usuels (parenthèses ou crochets) avant la dernière année du cycle. Le vocabulaire et les notations

nouvelles [AB], (AB), [AB), AB, sont introduits au fur et à mesure de leur utilité, et non au départ

d’un apprentissage.

Les instruments :

Au primaire, les élèves auront recours à différentes règles (graduées ou non, de diverses

tailles), à des gabarits, à l’équerre, au compas. Ils commenceront à utiliser le rapporteur au collège.

Symétrie axiale :

Un travail préalable sur les figures permet d’illustrer l’aspect global de la symétrie

plutôt que de procéder de façon détaillée (par le point, le segment, la droite). Pour construire ou compléter des figures planes par symétrie, différentes procédures seront abordées au cours du cycle.

Elles évoluent et s’enrichissent par un jeu sur les figures, sur les instruments à disposition et par

l’emploi de supports variés

Initiation à la programmation

: Une initiation à la programmation est faite à l’occasion notamment d’activités de repérage ou de déplacement (programmer les déplacements d’un robot ou ceux d’un personnage sur un écran), ou d’activités géométriques (construction de figures simples ou de figures composées de figures simples). Au CM1, on réserve l’usage de logiciels de géométrie dynamique à des fins d’apprentissage manipulatoires (à travers la visualisation de constructions instrumentées) et de validation des constructions de figures planes. À partir du CM2, leur usage progressif

pour effectuer des constructions, familiarise les élèves avec les représentations en perspective cavalière et avec la notion de conservation des propriétés lors de certaines transformations.

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