Leçon 23 : Résolution de problèmes à l’aide de matrices





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Leçon 23 : Résolution de problèmes à l’aide de matrices.

Introduction :

L’étude des matrices intervient en classes de terminale S et ES spécialité mathématiques où elle se focalise sur les matrices carrées, ainsi que dans les STS avec le module de calcul matriciel (qui présente les matrices comme un mode de représentation efficace dans le cadre de certains problèmes et initie aux opérations avec les matrices) et celui d’algèbre linéaire (avec les notions de matrice représentative d’une application linéaire et de diagonalisation). Au lycée, les programmes mettent l’accent sur le fait que les matrices et les notions liées doivent être présentées dans le cadre de la résolution de problèmes : « L’enseignement de spécialité –S comme ES- prend appui sur la résolution de problèmes. Cette approche permet une introduction motivée des notions ». En série S les matrices sont notamment utilisées dans le cadre de problèmes de marches aléatoires ou conduisant à une modélisation sous forme d’une suite de matrice. En série ES les programmes se tournent plus vers le lien avec les graphes. Aucune virtuosité technique n’est attendue, logiciels et calculatrices sont à mettre à profit si nécessaire.

Voici quelques problèmes où l’usage des matrices des matrices se révèle un outil performant.

Remarque : un document d’accompagnement sur la spécialité en S (maths série S, enseignement de spécialité, juin 2012) ainsi qu’un autre sur les graphes en ES (Introduction d’éléments de la théorie des graphes, 2001) donnent des idées et développent les exemples cités dans les programmes.

I. Un mode de représentation synthétique et efficace.

  • Déclic TS, Hachette 2012, activité 1p506 : Prix, taxes et soldes.

« Un magasin reçoit trois ensembles (pantalon-chemise-veste) pour sa collection d’hiver. Le tableau A suivant donne les prix HT de chaque article, en € :




Ensemble marron

Ensemble gris

Ensemble noir

Pantalon

75

80

70

Chemise

60

65

60

Veste

95

90

90

1./ En France le taux de TVA sur la vente de vêtements est fixé, en 2012, à 19,6%. Quel calcul faut-il effectuer sur chacun des nombres du tableau pour obtenir le montant de la TVA de chaque article ? Faire la calcul et regrouper les résultats dans un tableau B.

2./ Obtenir, à partir des tableaux A et B, le tableau C donnant les prix TTC de chaque article.

3./ Au moment des soldes, le magasin applique une réduction de 40% sur chaque article. Construire le tableau D des prix après réduction.

Soit sous forme matricielle : B = 19,6% x A ; C = A + B ; D = 40% x C. Des taux de réduction différents selon la pièce de l’ensemble avec en question le prix de chaque ensemble utilise le produit de matrices.

Commentaires :

  • efficacité du mode de représentation matricielle

  • matrice carrée

  • somme de matrices carrées, produit d’une matrice carrée par un réel

II. Matrices et systèmes linéaires.

  • Déclic T-ES, Hachette 2012, 9p269 : Recette du second degré.

« On admet qu’une recette peut se modéliser par une fonction du second degré, en fonction de la quantité vendue, entre 0 et 10 tonnes. Bien sûr, si la quantité est nulle, la recette est nulle. De plus, pour une tonne vendue, la recette est de 3 800€ et pour 2 tonnes elle est de 7 200€. Exprimer la recette R(x), en euro, en fonction de la quantité x vendue, en tonne. »

Traduction d’une situation réelle en langage mathématique. On obtient un système de 3x3 :



Ou sous forme matricielle : i.e.

La matrice inverse existe bien (déterminant non nul). Si la notion de matrice inverse d’une matrice carrée est au programme, savoir calculer l’inverse non (on la donne et fait vérifier que ça marche bien ou on la fait calculer avec l’informatique type Xcas, commande « inv([0,0,1],[1,1,1],[4,2,1]]) »). On peut expliciter le principe (déterminant et méthode) pour le cas simple d’une matrice 2x2.

Commentaires :

  • Ecriture matricielle d’un système linéaire (ici 3x3 donc peu impressionnant car réalisable à la main, mais avec un système 27x27 il n’est plus question de le faire à la main et à l’ordinateur l’écriture matricielle AX=B est plus synthétique –tableau de nombres à entrer au lieu d’équations avec nombres, inconnues et symboles opératoires- et plus claire –on entre la formule donnant la solution A-1B qui a du sens, on sait ce que fait l’ordinateur tandis qu’on ne sait pas les calculs exacts qu’il réalise avec solve([équation,équation,…],[inconnue, inconnue, …])).

  • Produit d’une matrice carrée par une matrice colonne

  • Matrice inverse d’une matrice carrée.

  • Les n°10, 11, 12 à la suite sont du même tonneau avec de petites variantes (2 points + le nombre dérivé en un point, contexte économique avec coût total coût marginal coût moyen).

III. Matrices et arithmétique : Le chiffrement de Hill.

  • Mix des 96p544, Déclic TS, Hachette 2012 et 1p538-539, Repères TS, Hachette 2012 :

Le chiffrement de Hill est une méthode polygraphique, on ne code pas le message lettre par lettre mais groupe de lettres par groupe de lettres, ce qui rend plus difficile le cassage du code par analyse des fréquences (la même lettre dans le texte en clair n’est pas toujours codée de la même manière). On travaillera ici par groupe de deux lettres. On commence par associer à chaque lettre son rang dans l’alphabet (A=0, B=1, C=2 …). On se donne ensuite une matrice carrée d’ordre 2, où a, b, c et d sont des entiers, bien choisie. Soit x et y les nombres associés au deux lettres d’un groupe. On code ces deux lettres en les remplaçant par celles associées aux deux entiers x’ et y’ définis par : c’est-à-dire : . La clef de chiffrement est donc la matrice A.

1./ Chiffrement : Coder le message « Je suis prêt » avec le clef (rq : si le nombre de lettre est impair on ajoute une lettre quelconque, par exemple X, à la fin du message).

2./ Déchiffrement : On cherche à retrouver x et y à partir de x’ et y’. Il faut donc inverser l’égalité matricielle donnée plus haut.

a) Vérifier que la matrice inverse de A est . Cette matrice permet-elle d’obtenir x et y ?

On a donc mais A-1 n’est pas à coefficients entiers d’où problème.

b) On dit qu’un entier n admet un inverse modulo m lorsqu’il existe un entier k tel que kn ≡ 1[m]. Montrer que n admet un unique inverse k tel que 1 ≤ k ≤ 25 si, et seulement si, n et 26 sont premiers entre eux.

L’existence est donnée par le théorème de Bézout : pgcd(n,26) = 1 équivaut à l’existence d’entiers u, v tels que nu + 26v = 1 ie nu ≡ 1 [26] ; et la division euclidienne de u par 26 : u = 26q + r avec 1 ≤ r ≤ 25, r 0 sinon nu + 26v ≡ 0 [26], donc en remplaçant u dans nu ≡ 1 [26] on trouve nr ≡ 1 [26] donc r satisfait les conditions voulues. Pour l’unicité s’il existe r et r’ tous deux congrus à 1 mod 26 et tels que 1 ≤ r,r ’≤ 25 alors nr ≡ nr’ [26] i.e. 26|n(r-r’) or pgcd(n, 26) = 1 donc d’après le lemme de Gauss 26|r-r’, or -24 ≤ r-r’≤ 24 d’où r-r’ = 0 id est r = r’.

c) Vérifier que 41 et 26 sont premiers entre eux et trouver l’inverse de 41 modulo 26 compris entre 1 et 25. En déduire un moyen d’obtenir x et y puis déchiffrer le message codé obtenu à la question 1./.

L’inverse cherché est 7. De 41 on déduit , l’écriture sous forme de système est plus claire.

d) A quelle condition la matrice A est-elle « bien choisie » ? (ad-bc premier avec 26).

Commentaires :

  • Utilisation dans un cadre arithmétique avec écriture matricielle du système (NB : pour les congruences il est plus simple de raisonner avec le système et de ne traduire sous forme matricielle qu’à la fin)

  • Produit d’une matrice carrée par une matrice colonne

  • Matrice inverse, déterminant (notion hors programme mais en exercice ce n’est pas interdit d’en parler)

IV. Matrices, graphes et suites.

  • Déclic TES, Hachette 2012, 60p284 :

« Six bâtiments de A à F composent un pôle industriel. Toutes les voies sont en sens unique. On arrive dans la zone par le bâtiment A et on la quitte par le F.

1./ Ecrire la matrice du graphe formé les bâtiments et les voies de ce pôle.

2./ Déterminer le nombre de trajets qui partent de A et arrivent en F en suivant deux/trois/quatre rues. »

Commentaires :

  • Modéliser un graphe orienté par sa matrice d’adjacence

  • Puissances d’une matrice carrée et interprétation des coefficients comme nombre de chemins d’une certaine longueur entre deux sommets (le coeff aij de Mp est le nombre de chemins de longueur p partant du sommet i pour aller vers le sommet j)

  • Exercice 46p75 document « Graphes pour la terminale ES », octobre 2002, IREM de Luminy.

« Deux villes X et Y totalisent une population d’un million d’habitants. La ville X est plus agréable, mais la ville Y offre de meilleurs salaires. 20% des habitants de Y partent chaque année habiter X pour avoir un meilleur cadre de vie, et 5% des habitants de X partent chaque année habiter Y pour augmenter leur niveau de vie. Sachant qu’en l’année 0, un quart des habitants sont en X, calculer la population de X et de Y au bout de 1, 2, 5 , 10 ans.

Que se passe-t-il si l’on suppose que 99% des habitants sont initialement en X ou en Y ? Si la population est également répartie entre les deux villes l’année 0 ? Que constate-t-on ? » Quelle va être la répartition de population à long terme ?

Une solution très détaillée est proposée dans le document. Intéressant car intuitif : une proportion de personnes 4 fois supérieure quitte Y pour X chaque année que l’inverse, donc si on veut que les populations soient stables, c’est-à-dire que les flux dans les deux sens se compensent, alors il faut que la population de Y soit 4 fois plus faible que celle de Y (même raisonnement que « si ça coûte 2 fois plus cher mais que j’en achète deux fois moins je paye le même prix »), d’où sachant que X + Y = 1 000 000, X = 200 000 et Y = 800 000. Ce qu’on retrouve par le calcul.

Commentaires :

  • Modéliser une situation par un graphe probabiliste et un système de relations de récurrence linéaires (on étudie les suites (Xn) et (Yn) où Xn est la population de la ville X l’année n et Yn celle de Y)

  • Ecriture sous forme matricielle, matrice de transition (on pose Pn=(Xn, Yn) EN LIGNE et M la matrice de transition : Pn+1=Pn x M, NB : en ES on pose Pn EN LIGNE et on multiplie par M à droite car c’est l’habitude des probabilistes et en ES on se place dans un cadre probabiliste, en S on écrit Pn EN COLONNE et on multiplie par la transposée de M –transposée qui n’est donc plus la matrice de transition du système- à gauche car c’est l’habitude en dehors des proba, ça correspond mieux à l’écriture du système et on se place dans le cadre de suite de matrices)

  • Introduction d’une suite de matrices géométrique Pn+1 = P M.

  • Produit d’une matrice carrée par une matrice ligne/colonne, puissances d’une matrice carrée

  • Recherche d’un état stable (c’est-à-dire de P tel que P = PM, dans le cas d’une matrice de transition 2x2, il existe toujours, est unique, et ne dépend pas de l’état initial du système).

Remarque : Si on considère une personne donnée, que la probabilité chaque année qu’elle passe de X à Y est 0.05 et de Y à X est 0.2, et qu’au départ elle a une proba un quart d’être en X, alors on déduit les proba de rester dans la même ville et on a une marche aléatoire sur un graphe à deux sommets (l’idée de déménager aléatoirement chaque année est peu réaliste mais ça marche).

  • Activité 5p508, Déclic TS, Hachette 2012 (PageRank) :

Point de vue TermS : c’est un problème de marche aléatoire qui se modélise par une suite de matrices arithmético-géométrique (dans la partie B, que géométrique dans la partie A) dont on étudie la convergence.

Point de vue ES : c’est un problème qui pour la partie A revient à l’étude d’un graphe probabiliste avec recherche d’un état stable, la partie B dépasse le cadre des programmes de ES.

Commentaires : Cet exercice correspond à une marche aléatoire sur un graphe d’ordre 3.

  • Modélisation de la situation par un système de relations de récurrence linéaires (partie A), affines (partie B)

  • Ecriture sous forme matricielle Un+1 = A Un (+ B)

  • Introduction d’une suite de matrices (arithmético-)géométrique

  • Utilisation des règles de calcul sur les matrices (distributivité), inversibilité, pour se ramener à une suite géométrique dans la partie B

  • Etude de la convergence.

  • 75p535, Déclic TS, Hachette 2012 (Sauts de puces sur un triangle) :

Marche aléatoire en tout point identique à l’exercice ci-dessus.

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