Professeur des écoles depuis 1995 en Seine Saint-Denis, j’ai par choix exclusivement exercé en école maternelle et le plus souvent en Zone d’Education





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Situation d’apprentissage 3


séance n°4 de la séquence 4 (ANNEXE 6 p29)

objectif : Comprendre que la « question »(ce que je dois chercher) peut porter sur l’état initial du problème proposé.

tâche : associer un problème à un schéma correspondant. (ANNEXE 6 bis p33 et 34)

Constats et analyse

Les élèves ont eu l’occasion en début de séquence de s’interroger sur la nature de l’action engagée dans l’énoncé du problème. Ils ont pu ainsi trier et regrouper diverses actions pour les traduire en deux « opérateurs » mathématiques ajouter et enlever (transformation positive et négative). Cependant, si cette découverte est nécessaire pour résoudre les problèmes qui leur sont proposés, elle n’est pas suffisante. En effet, on ne peut pas affirmer que la présence d’un mot induisant un ajout comme « gagner » dans l’énoncé entraîne un recours systématique à une addition. Ce serait les enfermer dans une représentation erronée déjà bien ancrée. Il faut que les élèves puissent identifier sur quel état porte la question du problème et quelles en sont les conséquences du point de vue de la mathématisation de la situation. C’est dans ce but que j’ai alors proposé cette quatrième séance
situation 1

C’est une situation que j’ai par choix voulue plus facile que la seconde. Elle permet aux élèves de retrouver des procédures et de faire référence clairement aux outils crées par le groupe. C’est une sorte de « mise en bouche » pour réussir.

  • Le choix du problème 1

C’est un problème pour lequel il y a une transformation positive « on a donné … ». La question portant sur l’état final entraîne une addition. Cette situation peut donc être qualifiée de simple au niveau du processus d’opérationnalisation pour les élèves du groupe.



  • le choix des schémas

J’ai préféré pour cette séance proposer des schémas plutôt que de laisser les élèves créer les leurs. Il me semble que le fait d’être confronté à des propositions différentes favorise le questionnement : « quel schéma choisir ? Pourquoi celui-ci ? Quelle est la différence avec les autres schémas proposés ? » La faculté de se questionner étant un besoin important pour les élèves du groupe.

Dans la séance précédente, les élèves ont pu dégager (avec la méthode de construction des concepts de B-M Barth) les attributs d’un schéma correspondant à un énoncé de problème additif de transformation. La présence d’un début et d’une fin a été mise en évidence (état initial /état final) ainsi que la place des données, de la question et de l’action. Un affichage a été crée.

Sur les trois schémas proposés, un seul a les attributs dégagés par les élèves. Ainsi il peut être identifié de manière assez claire. Lors de la mise en commun, les élèves ont pu argumenter leurs propos en faisant référence à l’affichage. Malika qui avait fait une erreur a pu s’en rendre compte et accepter de modifier son point de vue d’autant mieux que le support écrit créé par le groupe, ( utilisé comme support de validation) rendait la situation non ambiguë.
situation 2

  • Le choix du problème 2

Dans le deuxième problème proposé, la situation induit bien un ajout « Younes a gagné des billes » mais le fait que la question porte sur l’état initial « combien de billes avait-il au début ? » modifie non pas l’opérateur mais le calcul numérique à effectuer pour résoudre le problème. Il s’agira ici d’une soustraction.

Trois élèves du regroupement ont résolu le problème en proposant une addition. Ils sont passé à coté du questionnement. Nathalie n’a pas répondu.


  • Le choix des schémas

Pour cette seconde situation, j’ai choisi trois schémas assez proches visuellement. Pour faire apparaître clairement l’état initial et l’état final, j’ai utilisé la schématisation proposée par G Vergnaud (présentée en p 13 du mémoire)

Seul le premier schéma correspondait bien à la situation posée. Dans le second schéma, il y a tous les attributs mais la question n’est pas à la bonne place. Dans le dernier, l’opérateur n’est pas à la bonne place et l’organisation temporelle ne correspond pas à la situation.

Brahim, Nathalie et Catherine ont choisi le schéma 2. Brahim et Catherine ont effectué une addition au lieu de la soustraction attendue. Nathalie n’a pas répondu.

Malika a choisi le schéma 1. Elle a cependant fait une addition.

Ce n’est que lors de la mise en commun qu’ils ont pu observer et réaliser la différence qui existait entre les deux schémas. Le rôle de la verbalisation et l’explication des stratégies (métacognition) a permis au groupe de mettre en évidence que si le point d’interrogation n’était pas au même endroit cela avait certainement une signification. Par un questionnement, j’ai pu leur faire établir le lien entre la chronologie et la place de la question. Ils ont établi le fait que « on ne sait pas exactement ce qui se passe au début de l’histoire. C’est ça qu’on doit chercher ! »

Pour lever toute ambiguïté j’ai verbalisé le fait que la place de la question n’est pas sa place physique dans l’énoncé (écrite à la fin) mais sa place concernant le début ou la fin de l’histoire de notre problème.

Ils ont alors résolu ce problème sans écrire d’opération. Ils ont eu recours au calcul mental.

Lors de la synthèse, j’ai transmis une forme écrite de la solution en proposant un circuit « retour » vers l’état initial.

Ils ont ainsi visualisé la réciprocité de l’opération et verbalisé «  si dans un sens c’est plus(+) alors dans l’autre sens c’est moins(-). » nous dit Nathalie. On a donc pu ajouter ensuite à notre affichage ces découvertes importantes.




Bilan et perspectives

Le schéma a donc bien permis aux enfants de se questionner. Il est vrai que cela n’a pas été fait de manière très spontanée de leur part et que cela n’a pas conduit à trouver la solution dans un premier temps. On peut donc se dire que cet outil venant renforcer la conceptualisation peut être un outil d’aide mais que cela demande du temps et de l’entraînement. Il n’est pas question ici de former des « professionnels » du schéma mais de permettre aux élèves d’explorer à l’aide de cet outil d’autres situations mathématiques. Il faudrait aussi aborder le passage du schéma à la solution ; de la lecture d’un schéma vers l’écriture d’une solution.

Des séances de réinvestissement ont donc suivi cette séance. Les élèves se sont rapidement approprié l’outil et l’utilisent de manière de plus en plus autonome.

Cela leur permet de ne plus être dans l’addition systématique mais de se poser des de questions et afin d’arriver à une procédure et un résultat juste (une des étapes suivantes serait d’apprendre à se séparer de cet outil ).

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