Quelques aspects du caractère incontournable des





télécharger 256.33 Kb.
titreQuelques aspects du caractère incontournable des
page1/10
date de publication03.07.2017
taille256.33 Kb.
typeDocumentos
e.20-bal.com > loi > Documentos
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10



mathématiques

et Philosophie

Etudes

Quelques aspects du caractère incontournable des Eléments d’Euclide au XVIIeme siecle

Les frontières dans les mathématiques cartésiennes

L’algèbre est à la géométrie ce que la déduction est à l’intuition

Les indivisibles de Roberval, une « petite différence » de doctrine

Quelques aspects du caractère incontournable

des Elements d'Euclide au XVIIeme siècle1

Introduction


Les Eléments d'Euclide sont, après la Bible, l'ouvrage ayant connu le plus grand nombre d'éditions depuis l'invention de l'imprimerie. Etant données l'ancienneté et la diversité des sources antiques de ce texte, il n'est évidemment pas simple de reconstituer un tableau de cette histoire éditoriale. Les manuscrits proviennent de deux traditions distinctes, grecque et arabe et les éditions des XVIe et XVIIe sont, soit des approches philologiques du corpus, soit des occasions de commentaires philosophiques, soit des approfondissements mathématiques, soit encore des traités à fonction pédagogique. De cette énorme activité éditoriale, je ne mentionne que l'édition due à Christophe Clavius (1574) car elle est utilisée -je crois- par tous les auteurs du XVIIeme siècle. A son sujet, Maurice Caveing écrit :

[…] la version latine de Christophe Clavius (1538/1612) […] n’est pas une traduction, mais une recension, donnée pour telle et marquée de sa personnalité. […] Aux 486 propositions que compte le texte grec, Clavius en ajoute 671, les preuves sont réécrites, les constructions développées ; un considérable accompagnement de notes recueillies chez les éditeurs et commentateurs précédents se combine avec les critiques et les éclaircissements de Clavius lui-même pour produire un ouvrage de très grande valeur. […] Il identifie la tradition arabe chez Campanus, condamne ses prédécesseurs qui ont rejeté les anciennes preuves pour y substituer de mauvaises et reconnaît la valeur de Commandinus. Grâce à cette œuvre magistrale, le XVIIe siècle allait disposer d’un Euclide, sinon philologiquement impeccable, du moins mathématiquement instructif et stimulant 2.

Cette présence euclidienne nourrit aussi bien la réflexion et la production philosophique, mathématique et pédagogique. Après la période proprement philologique de redécouverte et d'établissement du texte, les Eléments forment la base culturelle commune des mathématiciens et philosophes (physiciens) depuis la fin du XVIe siècle jusqu'à la fin du XVIIe. Je propose ici d'examiner quelques aspects de cette référence euclidienne et de la réflexion qu'elle suscite. Il sera surtout question, dans cet article, de son rôle dans l'établissement de la science abstraite (souvent mais pas forcément assimilée aux mathématiques pures).

Les Eléments et la mathématisation de la physique


Avant d'y venir, je crois utile de proposer quelques remarques concernant la place de cette discussion dans ce qui constitue le centre nerveux de la révolution scientifique, à savoir dans le programme de mathématisation de la nature. Tous les auteurs dont il sera question sont acquis à cette idée ‘nouvelle’ selon laquelle les lois de la nature peuvent être interprétées et énoncées en termes mathématiques. C'est donc, inévitablement, vers Galilée qu'il faut se tourner. L'adéquation entre la géométrie et les phénomènes de notre monde est bien, pour lui, le critère déterminant la position philosophique des uns et des autres: c'est tout l'enjeu de l'opposition entre Simplicio, l'aristotélicien de ses dialogues et Salviati et Sagredo, le savant moderne et l'honnête homme. Si le programme est clair, les difficultés de sa réalisation sont considérables. En premier lieu on constate une influence mutuelle des concepts mathématiques et physiques: la physique de Galilée est inévitablement déterminée par les mathématiques dont il dispose et en retour, celles-ci sont ‘travaillées’ par les concepts centraux de la nouvelle physique. Or, de quelles mathématiques dispose-t-il, sinon notamment des Eléments d'Euclide3. Mais l'œuvre d'Euclide n'a justement pas été conçue comme langage a priori adéquat à un dialogue avec les phénomènes naturels, mais comme base d'une science pure et abstraite 4. Ainsi les quantités dont traitent les Eléments sont-elles le nombre, la ligne, la surface, le volume et l'angle. Or, de quoi la physique galiléenne (et post-galiléenne) doit-elle traiter, sinon de poids, de temps, de vitesses, de densités? C'est dans ce cadre qu'on saisit l'avertissement que Roberval adresse à son lecteur au début du sixième livre de ses Eléments de Géométrie :

Il peut y avoir raison entre deux choses, les comparant autrement que par la quantité : comme par la pesanteur, par la lumière, par le son, par le mouvement, par les forces et par d’autres accidents. Mais cette raison n’est pas de la pure géométrie qui ne compare que les cinq genres dont il a été parlé […], savoir les lignes par leur longueur, les superficies par leur longueur et largeur ensemble, les solides par leur longueur, largeur et profondeur ensemble, les angles par leur ouverture et les nombres par la multitude des unités qu’ils contiennent. Toutes les autres raisons sont de la physique. Et pourtant elles ne laissent pas d’être en usage dans la mathématique mêlée de la physique, comme dans l’optique, dans la mécanique, dans la musique, dans l’astronomie etc., ce qui n’est pas proprement de ce lieu où nous n’entendons traiter que des raisons géométriques. Mais il faut se souvenir que la même méthode dont nous nous servirons ici servira aussi lorsqu’il faudra traiter des autres raisons. Partant, cet avertissement n’est qu’une exclusion des raisons qui ne sont point de géométrie et qui pour cette cause sont renvoyées ailleurs5.

Un rappel de même nature avait été fait par Clavius6 dans le commentaire de sa définition 3. On observe que le jésuite distingue clairement entre la proportion qui “ne se trouve au sens propre que dans les seules quantités” et des grandeurs dont il est clair qu'elles ne sont pas essentiellement des quantités: les sons, les voix, les lieux, les mouvements, les poids et les puissances et même les temps. Comme si la division entre ce qui est “proprement qualitatif“ et ce qui ressort seulement “de quelque manière” du quantitatif, recouvrait la division entre le géométrique et ce qu'il faut bien appeler les grandeurs physiques. Roberval enregistre explicitement cette distinction des sciences: à la pure géométrie d'examiner les comparaisons véritablement quantitatives, la physique et a fortiori “la mathématique mêlée de physique” se chargeant des comparaisons “par accident”. Si la théorie des proportions est donc fondamentalement étrangère aux objets qui ne sont pas de pure géométrie, pourtant un vaste champ d'application lui est ouvert dans les sciences comme l'optique, la mécanique, la musique et l'astronomie. On ne peut que souligner la forte inspiration aristotélicienne de ces distinctions.

L'importante mise au point de Descartes dans les Règles propose un traitement très différent de la même question puisqu'il énonce que,

par dimension, nous n'entendons rien d'autre que le mode et le rapport sous lequel un sujet quelconque est considéré comme mesurable: de sorte que ce ne sont pas seulement la longueur, la largeur et la profondeur qui sont les dimensions du corps, mais encore le poids est la dimension selon laquelle les sujets sont pesés, la vitesse est la dimension du mouvement, et une infinité d'autres choses de cette sorte […] Toutes ces divisions se comportent cependant de la même manière, si on ne les considère que sous le rapport de la dimension, comme il faut le faire ici, de même que dans les disciplines mathématiques; c'est plutôt aux physiciens qu'il appartient en effet d'examiner si elles ont un fondement réel7.

Les philosophes de la nature, à la suite de Galilée, entendent donc exploiter, exporter les résultats de pure géométrie à des domaines physiques pour lesquels ils n'ont pas été conçu à l'origine. Il s'agit de franchir la frontière ancienne et bien établie entre les sciences théorétiques, hétérogènes dans leur objet et par le degré de réalité de cet objet. Selon cette tradition, les mathématiques ne sont pas une science des choses sensibles mais ne sont pas non plus science de choses qui existeraient vraiment en dehors des objets sensibles: ce qu'elles posent comme séparé n'a pas d'existence autonome dans la nature.

En outre - et avec quelle insistance - la nature, que l'on veut exprimer mathématiquement, n'offre pratiquement que des phénomènes variables, des relations fonctionnelles entre ces ‘grandeurs’. Galilée est bien en peine de trouver, dans la mathématique classique, des outils aptes à en rendre compte. Ainsi que l'a écrit Enrico Giusti, les outils mathématiques euclidiens, qui sont absolument incontournables pour Galilée, fournissent un “schéma bien trop pauvre pour être suffisant aux exigences de la physique”8 et il ne peut en résulter qu'une physique très élémentaire.

Lui qui a proclamé l'adaptation des concepts physiques à la géométrie sait qu'il lui faut tenter la réciproque. Ceci est essentiel puisque :

une fois choisie la géométrie (en particulier la théorie des proportions) pour la description des phénomènes, les seules relations possibles entre les corps naturels sont ceux que prévoit la théorie entre les grandeurs abstraites et nos représentations de la nature devront s'y conformer avec toutes les distorsions qui en découlent9.

Galilée avait prévu d'ajouter une cinquième et une sixième journée aux Discorsi e dimostrazioni matematishe sopra due nuove scienze. La sixième (jamais achevée) devait traiter de la percussion et la cinquième de la théorie des proportions. Elle ne fut pas intégrée au traité lors de la publication en 1638, mais fut rédigée peu après, avec l'aide de Torricelli. Publiée seulement en 1674 par Viviani à Florence, elle propose une réforme de la théorie euclidienne, organisée autour d'un réexamen de deux de ses points sensibles: la définition 5 du livre VI de la proporzione composta10 qui est très certainement interpolée et « n'a jamais fait l'objet d'un exposé satisfaisant », comme l'écrivait déjà Eutocius au VIe siècle. L'autre point abordé est central puisqu'il s'agit de la définition même des grandeurs proportionnelles (la définition 5 du livre V qui définit cette relation par les équimultiples). Ce joyau de la théorie euclidienne ne satisfait pas Galilée qui l'estime trop difficile et impropre à faire connaître le concept de proportionnalité. Il propose une définition alternative, par similitude des rapports, qui peut sembler très contestable et s'apparenter à un cercle logique. Voici en effet la définition générale que propose Salviati :

anco in qual altro modo s'intendano quattro grandezze esser fra loro proporzionali; ed è questo. Quando la prima per avere alla seconda la medesima proporzione che la terza alla quarta non è punto né maggiore né minore di quello che dovrebbe essere, allora s'intende aver la prima alla seconda la medesima proporzione che ha la terza alla quarta11.

Il n'est pas question de détailler davantage la manière dont Galilée relit les Eléments et tente de les adapter à son programme - tache qu' E. Giusti a si remarquablement menée à bien dans son Euclides reformatus (1993). Je mentionne seulement une des contraintes simple et sévère qu'il rencontre : deux grandeurs n'ont de raison entre elles que si elles sont homogènes (ligne à ligne, nombre à nombre etc.). Ceci est un point incontournable de la théorie que nous ne faisons qu'oublier lorsque nous identifions la mesure d'une grandeur à la grandeur elle-même, tant il est vrai qu'une mesure n'est autre chose qu'un rapport. Il n'est donc pas possible de produire directement une grandeur physique -la vitesse- comme rapport d'un espace et d'un intervalle de temps qui sont hétérogènes; pas plus que d'obtenir un poids spécifique comme rapport d'un poids relatif et d'un volume. Mais il est possible de donner le rapport des vitesses comme composé du rapport des distances et du rapport inverse des temps. La composition des rapports est ainsi une manipulation nécessaire à la constitution de la cinématique galiléenne. On sait que pour être opératoire (en particulier lorsqu'il s'agit de grandeurs cinématiques), la définition de la composition des rapports réclame l'adoption d'un postulat d'existence de la quatrième proportionnelle, trois grandeurs étant données (dont deux sont homogènes). E. Giusti montre comment la réforme galiléenne de la théorie des proportions satisfait à cette exigence.

Les contraintes imposées à la physique par cet outillage devenu insuffisant ‘éclairent’ un point précis et troublant dans l'élaboration de la théorie de la chute des corps (sujet dont il est inutile ici de souligner l'importance). Deux passages, l'un de Galilée, l'autre de Descartes, sont en effet difficiles à interpréter. Le premier, bien connu, est celui dans lequel, en 1604, Galilée expose à Paolo Sarpi la loi de la chute des graves. Partant d'un principe “très naturel” selon lequel :

le corps grave qui tombe accroît sa vitesse continuellement suivant que s'accroît la distance du point de départ […], ainsi en chaque point de la ligne ab, on trouve des degrés de vitesse proportionnels aux distances de ces mêmes points de l'origine a12.

Galilée en déduit la loi désormais classique, “Les espaces traversés d'un mouvement naturel sont dans le rapport double des temps [i.e. comme le carré des temps] et, par conséquent, que les espaces traversés en des temps égaux sont entre eux comme les nombres impairs à partir de l'unité”13. Le problème est précisément que cette loi exacte est déduite d'un principe faux, ou plutôt qu'on ne voit pas comment déduire mathématiquement celle-ci de celui-là. Certains parmi les plus éminents des commentateurs (Duhem, Koyré, Giusti) ont recours à une explication ‘simple’: il s'agit d'une erreur ou d'une ‘pirouette démonstrative’. Dans le cours de la démonstration constituée de manipulations sur les proportions, Galilée ‘passe’ de la proportion contraire (contraria proporzione) à la proportion sous-double (subduplicata proporzione), ce qui est absurde14.

Cette ‘erreur de Galilée’ a été largement discutée15. Je remarque seulement que l'on est ici en présence d'une opposition presque violente entre la physique naissante (ici la loi du mouvement dont est convaincu Galilée) et l'outil mathématique disponible qui s'appuie sur la théorie des proportions et trahit son inadéquation. Sur le même sujet, Descartes est lui aussi troublant: il écrit à Mersenne, le 14 août 1634 qu'il vient de ‘parcourir’ le Dialogo de Galilée et ajoute :

Je veux pourtant bien avouer que j'ai rencontré dans son livre quelques unes de mes pensées [...] La première est que les espaces par où passent les corps pesants, quand ils descendent, sont les uns aux autres comme les carrés des temps qu'ils emploient à descendre, c'est-à-dire que si une balle emploie trois moments à descendre depuis A jusques à B, elle n'en emploiera qu'un à le continuer de B jusques à C etc.” 16.

Comment expliquer ce c'est-à-dire qui donne pour équivalentes (alors qu'elles ne le sont pas) la loi galiléenne et la proportion cartésienne des trois puis un moments? Depuis ses travaux avec Beeckman, dans les années 1619-1620, Descartes a toujours défendu cette proportion selon laquelle le temps de parcours du second espace est le tiers du temps de parcours du premier espace. Faut-il encore recourir à l'explication par l'‘erreur’, commise cette fois par l'un des plus grands mathématiciens du siècle? Quoiqu'il en soit, encore une fois la théorie des proportions et les concepts physiques ne font pas bon ménage. On verra Descartes évoluer et renoncer, petit à petit, à donner une loi quantifiée de la chute réelle, en mettant en avant les ‘mille accidents’, la multiplicité des causes intervenant dans ce phénomène.

On mesurera suffisamment ainsi la tension extrême qui s'établit en cette période où la physique ne peut plus qu'être mathématique (soit très largement euclidienne) et où le corpus géométrique admis comme rigoureux, vrai et incontournable est bien loin de constituer le langage suffisant aux inspirations des philosophes de la nature.

Dans l'étude qui suit, on prendra la mesure des efforts déployés pour résorber cette contradiction; efforts qui - pour la plupart - visent à transformer l'outil euclidien sans avoir à l'abandonner, jusqu'au moment - assez brusque - où il cesse d'être réformable et abandonne le terrain aux nouveaux algorithmes algébriques, fonctionnels et infinitésimaux.
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

similaire:

Quelques aspects du caractère incontournable des icon‡C’est le droit applicable à l’administration, et appliqué par les...

Quelques aspects du caractère incontournable des iconQuelques aspects de Rambouillet durant la première guerre mondiale
«l’arrière» et a un rôle à tenir dans la victoire finale, en soutenant le «front», les poilus

Quelques aspects du caractère incontournable des iconAppel à communications
«utilisation des eaux usées traitées et des eaux pluviales aspects techniques (moyens de traitement, gestion des installations) Aspects...

Quelques aspects du caractère incontournable des iconSéminaire cria-paris – 16. 02. 2018 Quelques aspects du programme Rétraction
«rétraction» est mobilisée pour tenter de rendre compte de la complexité des modalités de ce processus, correspondant non pas à une...

Quelques aspects du caractère incontournable des iconRobert Boulin et le monde du vin girondin : l’art de louvoyer entre...
«fief» libournais et nous isolerons quelques aspects de son engagement aux côtés du monde viticole

Quelques aspects du caractère incontournable des iconLe droit administratif c’est le droit applicable à l’administration....
«entre ces deux notion maitresse du droit administratif que sont le service publique et la puissance publique, c’est la puissance...

Quelques aspects du caractère incontournable des iconUn mode interactif d’enseignement et d’apprentissage L’interactivité...
«réellement» les aspects opérationnels de la matière enseignée, pour ensuite partir à la recherche des aspects conceptuels du problème...

Quelques aspects du caractère incontournable des iconLe vocabulaire incontournable en droit bts

Quelques aspects du caractère incontournable des iconSynthèse des travaux et présentation des aspects essentiels des différents outils de diagnostics

Quelques aspects du caractère incontournable des iconJournée Pays chine/taiwan
«Grande Chine» reste un territoire incontournable en Asie pour les entreprises françaises. Le contexte en perpétuelle évolution,...






Tous droits réservés. Copyright © 2016
contacts
e.20-bal.com