Document d’aide pour progression maths cycle 3 Programmes 2015 nmarre cpc généraliste Cahors 2





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DOCUMENT D’AIDE POUR PROGRESSION MATHS CYCLE 3 – Programmes 2015 NMARRE CPC Généraliste Cahors 2



Dans la continuité des cycles précédents, le cycle 3 assure la poursuite du développement des six compétences majeures des mathématiques : chercher, modéliser, représenter, calculer, raisonner et communiquer. La résolution de problèmes constitue le critère principal de la maitrise des connaissances dans tous les domaines des mathématiques, mais elle est également le moyen d'en assurer une appropriation qui en garantit le sens. Si la modélisation algébrique relève avant tout du cycle 4 et du lycée, la résolution de problèmes permet déjà de montrer comment des notions mathématiques peuvent être des outils pertinents pour résoudre certaines situations.

Les situations sur lesquelles portent les problèmes sont, le plus souvent, issues d'autres enseignements, de la vie de classe ou de la vie courante. Les élèves fréquentent également des problèmes issus d'un contexte interne aux mathématiques. La mise en perspective historique de certaines connaissances (numération de position, apparition des nombres décimaux, du système métrique, etc.) contribue à enrichir la culture scientifique des élèves. On veille aussi à proposer aux élèves des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas directement reliés à la notion en cours d'étude, qui ne comportent pas forcément une seule solution, qui ne se résolvent pas uniquement avec une ou plusieurs opérations mais par un raisonnement et des recherches par tâtonnements.

Le cycle 3 vise à approfondir des notions mathématiques abordées au cycle 2, à en étendre le domaine d'étude, à consolider l'automatisation des techniques écrites de calcul introduites précédemment (addition, soustraction et multiplication) ainsi que les résultats et procédures de calcul mental du cycle 2, mais aussi à construire de nouvelles techniques de calcul écrites (division) et mentales, enfin à introduire des notions nouvelles comme les nombres décimaux, la proportionnalité ou l'étude de nouvelles grandeurs (aire, volume, angle notamment).

Les activités géométriques pratiquées au cycle 3 s'inscrivent dans la continuité de celles fréquentées au cycle 2. Elles s'en distinguent par une part plus grande accordée au raisonnement et à l'argumentation qui complètent la perception et l'usage des instruments. Elles sont aussi une occasion de fréquenter de nouvelles représentations de l'espace (patrons, perspectives, vues de face, de côté, de dessus...).

En complément de l'usage du papier, du crayon et de la manipulation d'objets concrets, les outils numériques sont progressivement introduits. Ainsi, l'usage de logiciels de calcul et de numération permet d'approfondir les connaissances des propriétés des nombres et des opérations comme d'accroitre la maitrise de certaines techniques de calculs. De même, des activités géométriques peuvent être l'occasion d'amener les élèves à utiliser différents supports de travail : papier et crayon, mais aussi logiciels de géométrie dynamique, d'initiation à la programmation ou logiciels de visualisation de cartes, de plans.

CYCLE 3 – MATHS –Nombres et calculs

Au cycle 3, l'étude des grands nombres permet d'enrichir la compréhension de notre système de numération (numération orale et numération écrite) et de mobiliser ses propriétés lors de calculs.

Les fractions puis les nombres décimaux apparaissent comme de nouveaux nombres introduits pour pallier l'insuffisance des nombres entiers, notamment pour mesurer des longueurs, des aires et repérer des points sur une demi-droite graduée. Le lien à établir avec les connaissances acquises à propos des entiers est essentiel. Avoir une bonne compréhension des relations entre les différentes unités de numération des entiers (unités, dizaines, centaines de chaque ordre) permet de les prolonger aux dixièmes, centièmes... Les caractéristiques communes entre le système de numération et le système métrique sont mises en évidence. L'écriture à virgule est présentée comme une convention d'écriture d'une fraction décimale ou d'une somme de fractions décimales. Cela permet de mettre à jour la nature des nombres décimaux et de justifier les règles de comparaison (qui se différencient de celles mises en œuvre pour les entiers) et de calcul.

Le calcul mental, le calcul posé et le calcul instrumenté sont à construire en interaction. Ainsi, le calcul mental est mobilisé dans le calcul posé et il peut être utilisé pour fournir un ordre de grandeur avant un calcul instrumenté. Réciproquement, le calcul instrumenté peut permettre de vérifier un résultat obtenu par le calcul mental ou par le calcul posé. Le calcul, dans toutes ses modalités, contribue à la connaissance des nombres. Ainsi, même si le calcul mental permet de produire des résultats utiles dans différents contextes de la vie quotidienne, son enseignement vise néanmoins prioritairement l'exploration des nombres et des propriétés des opérations. Il s'agit d'amener les élèves à s'adapter en adoptant la procédure la plus efficace en fonction de leurs connaissances mais aussi et surtout en fonction des nombres et des opérations mis en jeu dans les calculs. Pour cela, il est indispensable que les élèves puissent s'appuyer sur suffisamment de faits numériques mémorisés et de modules de calcul élémentaires automatisés. De même, si la maitrise des techniques opératoires écrites permet à l'élève d'obtenir un résultat de calcul, la construction de ces techniques est l'occasion de retravailler les propriétés de la numération et de rencontrer des exemples d'algorithmes complexes.

Les problèmes arithmétiques proposés au cycle 3 permettent d'enrichir le sens des opérations déjà abordées au cycle 2 et d'en étudier de nouvelles. Les procédures de traitement de ces problèmes peuvent évoluer en fonction des nombres en jeu et de leur structure. Le calcul contribuant aussi à la représentation des problèmes, il s'agit de développer simultanément chez les élèves des aptitudes de calcul et de résolution de problèmes arithmétiques (le travail sur la technique et sur le sens devant se nourrir l'un l'autre).


Attendus de fin de cycle

  • Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux

  • Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux

  • Résoudre des problèmes en utilisant des fractions simples, les nombres décimaux et le calcul

Connaissances et compétences associées

Exemples d’activités

flèche droite 1Progression


Utiliser et représenter les grands nombres entiers, des fractions simples, les nombres décimaux

Repères de progressivité :

Les fractions sont à la fois objet d'étude et support pour l'introduction et l'apprentissage des nombres décimaux. Pour cette raison, on commence dès le CM1 l'étude des fractions simples  et des fractions décimales. Du CM1 à la 6e, on aborde différentes conceptions possibles de la fraction, du partage de grandeurs jusqu'au quotient de deux nombres entiers, qui sera étudié en 6e. Pour les nombres décimaux, les activités peuvent se limiter aux centièmes en début de cycle pour s'étendre aux dix-millièmes en 6e.

………………………………………………

Situations dont la résolution mobilise des connaissances sur la numération ou des conversions d'unités de numération.

Illustrer les grands nombres à l'aide d'exemples d'ordres de grandeurs (population française, population mondiale, rayon de la Terre, âge du système solaire...).

Le travail sur certaines unités de masse ou de longueur et sur leurs relations (gramme, kilogramme, tonne ; centimètre, mètre, kilomètre, etc.) permet un retour sur les règles de numération.










Composer, décomposer les grands nombres entiers, en utilisant des regroupements par milliers.

Unités de numération (unités simples, dizaines, centaines, milliers, millions, milliards) et leurs relations.










Comprendre et appliquer les règles de la numération aux grands nombres (jusqu’à 12 chiffres).










Comparer, ranger, encadrer des grands nombres entiers, les repérer et les placer sur une demi-droite graduée adaptée.










Comprendre et utiliser la notion de fractions simples.

Écritures fractionnaires.

Diverses désignations des fractions (orales, écrites et décompositions).

Utiliser des fractions pour :

- rendre compte de partage de grandeurs ou de mesure de grandeurs dans des cas simples ;

- exprimer un quotient.

Situation permettant de relier les formulations la moitié, le tiers, le quart et 1/2 de, 1/3 de, 1/4 de, etc. (fractions vues comme opérateurs).

Par exemple, en utilisant une demi-droite graduée, les élèves établissent que 5/10 = 1/2, que 10/100 = 1/10, etc.

Écrire une fraction sous forme de somme d'un entier et d'une fraction inférieure à 1.











Repérer et placer des fractions sur une demi-droite graduée adaptée.










Une première extension de la relation d’ordre.

Encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs.

Établir des égalités entre des fractions simples.










Comprendre et utiliser la notion de nombre décimal.

Spécificités des nombres décimaux.

Situations nécessitant :

- d'utiliser des nombres décimaux pour rendre compte de partage de grandeurs ou de mesure de grandeurs dans des cas simples ;

- d'utiliser différentes représentations : mesures de longueurs et aires, une unité étant choisie ;

- de faire le lien entre les unités de numération et les unités de mesure (dixième/dm/dg/dL, centième/cm/cg/cL/centimes d'euros, etc.).

La demi-droite numérique graduée est l'occasion de mettre en évidence des agrandissements successifs de la graduation du 1/10 au 1/1000.











Associer diverses désignations d’un nombre décimal (fractions décimales, écritures à virgule et décompositions). Règles et fonctionnement des systèmes de numération dans le champ des nombres décimaux, relations entre unités de numération (point de vue décimal), valeurs des chiffres en fonction de leur rang dans l’écriture à virgule d’un nombre décimal (point de vue positionnel).










Repérer et placer des décimaux sur une demi-droite graduée adaptée.

Comparer, ranger, encadrer, intercaler des nombres décimaux.

Ordre sur les nombres décimaux.










Calculer avec des nombres entiers et des nombres décimaux

Repères de progressivité :

En début du cycle, les nombres sont abordés jusqu'à 1 000 000, puis progressivement jusqu'au milliard. Ce travail devra être entretenu tout au long du cycle 3.

La pratique du calcul mental s'étend progressivement des nombres entiers aux nombres décimaux, et les procédures à mobiliser se complexifient.

Les différentes techniques opératoires portent sur des nombres entiers et/ou des nombres décimaux :

- addition et soustraction pour les nombres décimaux dès le CM1 ;

- multiplication d'un nombre décimal par un nombre entier au CM2, de deux nombres décimaux en 6e ;

- division euclidienne dès le début de cycle, division de deux nombres entiers avec quotient décimal, division d'un nombre décimal par un nombre entier à partir du CM2.
……………………………………………….

Exemples de faits et procédures numériques :

- multiplier ou diviser par 10, par 100, par 1000 un nombre décimal,

- rechercher le complément à l'unité, à la dizaine, à la centaine supérieure,

- encadrer un nombre entre deux multiples consécutifs,

- trouver un quotient, un reste,

- multiplier par 5, par 25, par 50, par 100, par 0,1, par 0,5 ...

Utiliser différentes présentations pour communiquer les calculs (formulations orales, calcul posé, en ligne, en colonne, etc.).

En lien avec la calculatrice, introduire et travailler la priorité de la multiplication sur l'addition et la soustraction ainsi que l'usage des parenthèses.










Mémoriser des faits numériques et des procédures élémentaires de calcul.

Addition, soustraction, multiplication, division.










Élaborer ou choisir des stratégies de calcul à l’oral et à l’écrit.










Vérifier la vraisemblance d’un résultat, notamment en estimant son ordre de grandeur.










Propriétés des opérations :

  • 2+9 = 9+2

  • 3×5×2 = 3×10

  • 5×12 = 5×10 + 5×2.










Faits et procédures numériques additifs et multiplicatifs.










Multiples et diviseurs des nombres d’usage courant.










Critères de divisibilité (2, 3, 4, 5, 9, 10).










Calcul mental : calculer mentalement pour obtenir un résultat exact ou évaluer un ordre de grandeur.










Calcul en ligne : utiliser des parenthèses dans des situations très simples.

» Règles d’usage des parenthèses.










Calcul posé : mettre en œuvre un algorithme de calcul posé pour l’addition, la soustraction, la multiplication, la division.

» Techniques opératoires de calcul (dans le cas de la division, on se limite à diviser par un entier).










Calcul instrumenté : utiliser une calculatrice pour trouver ou vérifier un résultat.

Fonctions de base d’une calculatrice.









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