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Année universitaire 2013-2014

Diplôme de D.A.E.U – Option A
2ème session – Septembre 2014



Intitulé de la matière : Mathématiques
Nom de l’enseignant : Mme Baulon
Date de l’épreuve : Mercredi 10 septembre 2014 13.30-16.30
Matériel autorisé : Calculatrices électroniques de poche, y compris calculatrices programmables, alphanumériques ou à écran graphique, à condition que leur fonctionnement soit autonome et qu’il ne soit pas fait usage d’imprimante.
Nature de l’épreuve : Epreuve écrite

Le sujet est composé de 5 pages


Formulaire



  • Probabilité conditionnelle :

Si P(A) ¹ 0, la probabilité conditionnelle de l’événement B sachant que l’événement A est réalisé, notée pA(B) ou p(B/A), est définie par p(B/A) = .

L’événement contraire de l’événement A est noté .

  • Suites géométriques :

(un) est une suite géométrique de premier terme u0 Î et de raison q Î *,

pour tout n Î , un + 1 = qun et un = qn u0 .

  • Si u est une fonction définie, strictement positive et dérivable sur un intervalle I alors la fonction l(u) est dérivable sur I et (ln(u))’ = .

  • Soit une fonction f continue sur un intervalle I. Pour tous a et b de I avec a < b, la valeur moyenne de f sur [a ; b] est le réel :

Exercice 1 (5 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.

Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.

Aucune justification n’est demandée.
La courbe C ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d’une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [-5 ; 5].

On note f ’ la fonction dérivée de la fonction f.



  1. Sur l’intervalle [-5 ; 5] :

a. f est positive

b. f n’est pas continue

c. L’équation f ’(x) = 0 admet deux solutions

d. f est une fonction de densité de probabilité.

  1. Sur l’intervalle [-5 ; 5], on a :

a. f ’(1) = 0

b. f ’(0) = 1

c. f ’(0) = 0

d. f ’(1) = 1

  1. On admet qu’une équation de la tangente à la courbe C au point d’abscisse 4 est y = - + . Le nombre dérivé de f en 4 est :

a. f ’(4) =

b. f ’(4) =

c. f ’(4) = -

d. f ’(4) = e- 2

  1. On pose A = . Un encadrement de A est :

a. 0 < A < 1

b. 1 < A < 2

c. 3 < A < 4

d. 4 < A < 5

Exercice 2 (5 points)

Partie A

Document 1 : « En France, pendant l'année scolaire 2009-2010, sur 81 135 étudiants inscrits en classe préparatoire aux grandes écoles (CPGE), on pouvait trouver 34 632 filles. »

(Source: Repères et références statistiques sur les enseignements, la formation et la recherche Edition 2010)

Selon l'INSEE, la proportion de filles parmi les jeunes entre 15 et 24 ans est de 49,2 %.

Peut-on considérer, en s'appuyant sur le document 1, que les filles inscrites sont sous-représentées en CPGE ? Justifier la réponse.

On pourra utiliser un intervalle de fluctuation.

Partie B

Les étudiants des CPGE se répartissent en 3 filières :

  • la filière scientifique (S) accueille 61,5 % des étudiants ;

  • la série économique et commerciale (C) accueille 24 % des étudiants ;

  • les autres étudiants suivent une filière littéraire (L).

Document 2 : « En classes littéraires, la prépondérance des femmes semble bien implantée : avec trois inscrites sur quatre, elles y sont largement majoritaires. Inversement, dans les préparations scientifiques, les filles sont présentes en faible proportion (30 %) alors qu'on est proche de la parité dans les classes économiques et commerciales. »

(Même source)

On considère que parmi tous les inscrits en CPGE en 2009-2010, la proportion de fille est 42,7%. On interroge au hasard un étudiant en CPGE. On considère les évènements suivants :

F : l'étudiant interrogé est une fille ;

S : l'étudiant interrogé est inscrit dans la filière scientifique ;

C : l'étudiant interrogé est inscrit dans la filière économique et commerciale ;

L : l'étudiant interrogé est inscrit dans la filière littéraire.

  1. Donner les probabilités P(S), P(C), P(F/L), P(F/S) et P(F).

Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l'exercice.

  1. a. Calculer la probabilité que l'étudiant interrogé au hasard soit une fille inscrite en L.

b. Calculer la probabilité de l'évènement F∩S.

c. En déduire que la probabilité de l'évènement F∩S est 0,13375.

  1. Sachant que l'étudiant interrogé suit la filière économique et commerciale, quelle est la probabilité qu'il soit une fille ? On arrondira le résultat au millième.

Confronter ce résultat avec les informations du document 2.

  1. Sachant que l'étudiant interrogé est une fille, quelle est la probabilité qu'elle soit inscrite dans la filière littéraire L ? On arrondira le résultat au millième.

Exercice 3 (5 points)
La médiathèque d'une petite ville a ouvert ses portes le 2 janvier 2013 et a enregistré 2500 inscriptions en 2013.

Elle estime que, chaque année, 80 % des anciens inscrits renouvelleront leur inscription l'année suivante et qu'il y aura 400 nouveaux adhérents.
On modélise cette situation par une suite numérique (an).

On note a0 = 2500 le nombre d'inscrits à la médiathèque en 2013 et an représente le nombre d'inscrits à la médiathèque pendant l'année 2013 + n.


  1. a. Calculer a1 et a2 .


b. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a la relation an+1 = 0,8×an+ 400.


  1. On pose, pour tout entier naturel n, vn = an - 2000.


a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de premier terme v0 = 500 et de raison q = 0,8.
b. En déduire que le terme général de la suite (an) est an =500×0,8n + 2000.
c. Calculer la limite de la suite (an).


  1. Que peut-on en déduire pour le nombre d'adhérents à la médiathèque si le schéma d'inscription reste le même au cours des années à venir ?

Exercice 4 (5 points)
On étudie la propagation d'une maladie lors d'une épidémie.
Partie A
Des relevés statistiques ont permis de modéliser, par une fonction f, le nombre de malades durant l'épidémie.

Cette fonction f est définie sur [1 ; 26] par : f(t) = 24 t ln(t) – 3t² + 10 t est le nombre de semaines écoulées depuis le premier cas constaté et f(t) est le nombre de milliers de malades comptabilisés après t semaines.


  1. On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f.

Montrer que, pour tout réel t de l'intervalle [1 ; 26], f ’(t) = 24 ln(t) – 6t +24.


  1. Les variations de la fonction f ′ sont données dans le tableau suivant :

t

1 4 26


f’(t)






a. Montrer que l'équation f ’(t) = 0 admet, dans l'intervalle [1 ; 26], une solution et une seule qu'on notera α et donner l'encadrement de α par deux entiers naturels consécutifs.
b. En déduire le signe de f ’(t) sur [1 ; 26] et les variations de f sur 126.


  1. Le réel f ’(t) représente la vitesse de propagation de la maladie au bout de t semaines.


a. Dans le contexte du problème, donner une interprétation de l'expression mathématique suivante : « sur [4 ; 26], f ’ est décroissante.»
b. À partir des questions précédentes, déterminer le nombre de semaines écoulées à partir duquel le nombre de malades par semaine a commencé à diminuer.

Partie B
On admet que la fonction G définie par G(t) = 12 t² ln(t) – 6t² est une primitive sur [1 ; 26] de la fonction g définie par : g(t) = 24 t ln(t)


  1. Déterminer, sur [ 1 ; 26], une primitive F de la fonction f.




  1. On a trouvé que l'arrondi à l'entier de [F(26) – F(1)] est 202. Donner une interprétation de ce résultat dans le contexte du problème.

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